圆锥曲线考点讲义-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线考点精讲 1．椭圆的定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．焦距的一半叫做半焦距。 2．椭圆的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 中心 顶点 焦点 长轴 （为椭圆的长半轴长） 短轴 （为椭圆的短半轴长） 对称轴 轴、轴 范围 离心率 （，其中） 3．椭圆离心率求解方法 (1)直接法求离心率 直接求出，的值，利用离心率公式直接求解. (2)焦点三角形求离心率 焦点三角形中焦距与另外两边长和的比为，即离心率的值，同时我们也可以利用正弦定理把边的比转化为角度正弦值的比. (3)几何转化求离心率 根据所给条件，挖掘几何图形中的线段长度关系，位置关系，图形角度关系等，求解出c与a的值或c与a的比值. (4)代数变形求离心率 根据条件及几何图形，列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 4．椭圆焦点有关的结论 (1) 椭圆焦点三角形周长：. (2) 椭圆焦点三角形面积：（ 为焦点三角形的张角∠F1PF2）. (3)若焦点三角形的内切圆半径为r，则面积还可表示为：（l为焦点三角形周长）. (4) 椭圆中的两个最大张角 ①已知、为椭圆的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则当点P为椭圆短轴的端点时，最大． ②已知A、B为椭圆长轴上的两个顶点，Q为椭圆上任意一点，则当点Q为椭圆短轴的端点时，最大． 5．双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 6．双曲线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 中心 顶点 焦点 实轴 （为双曲线的实半轴长） 虚轴 （为双曲线的虚半轴长） 对称轴 轴、轴 轴、轴 范围 渐近线 离心率 （，其中） 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 7．双曲线离心率求解方法 (1)直接法求离心率 直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. (2)焦点三角形求离心率 焦点三角形中焦距与另外两边长差的绝对值之比为，即离心率的值，同时我们也可以利用正弦定理把边的比转化为角度的正弦值，得到焦点三角形求离心率的公式：. (3)几何转化求离心率 根据所给条件，挖掘几何图形中的线段长度关系，位置关系，图形角度关系等，求解出c与a的值或c与a的比值. (4)代数变形求离心率 根据条件及几何图形，列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 8．双曲线焦点有关的结论 双曲线焦点三角形面积：，其中为P对,的张角，即． 9．抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 10．抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 焦点 顶点 准线方程 对称轴 轴 轴 轴 轴 范围 离心率 11．抛物线焦点有关的结论 设抛物线方程为)，为过焦点的一条弦，倾斜角为，点在轴上方，点在轴下方. 1．坐标形式 ① 焦半径公式：，； ② 焦点弦公式：． 2．倾斜角形式 ① 焦半径公式：，； ，为定值. ② 焦点弦公式：． 当时，AB取最小值， . ③面积公式： ④焦比公式：． 第 3 页（共 21 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线题型专练 【椭圆的定义】 【例1】 设是椭圆的长轴，将五等分，过四个分点作的垂线，分别交椭圆上半部于(自左向右)、、、，又设椭圆的左、右焦点分别为、，则与、、、的距离之和为          ． 【答案】 20 【解析】 椭圆， ， 根据椭圆的定义有． 【椭圆的标准方程】 【例2】 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆， 可得，解得． 则的取值范围为：． 故选：B． 【椭圆基本量求解】 【例3】已知，是椭圆：的左、右焦点，是的左顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 解：由题意可知：，，， 直线的方程为：， 由，，得， 代入直线：，整理得：， 椭圆的离心率． 故选：D． 【椭圆中的最值问题】 【例4】已知点，