艺术生数学一轮复习立体几何坐标系应用及其习题 专题-2024届高三艺术生数学一轮复习

7.5空间向量与立体几何 （一）空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间一点M的坐标 （1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标. （2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点， 则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. （二）空间向量的有关运算 设，则， ，， ， . 点，则 【向量公式的运用】 （1）已知向量满足，，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】由题得.故选：A （2）已知空间向量，，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【解析】因为向量，，且，所以,解得, 故选C. （3）如果三点，，在同一条直线上，则( ) A． B． C． D． 【解析】三点共线 为共线向量 又， ，解得：， 本题正确选项： （4）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A.-1 B. C. D. 【解析】∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2）， ∴（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2）， （2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2， 2）， ∵和互相垂直， ∴（）•（）＝ 解得k．故选：D． （5）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为( ) A. B. C.或 D.或 【解析】∵，∴，又，， ∴．又，∴向量与的夹角为． （6）己知，则向量与的夹角为（ ） A．30 B．60 C．120 D．150. 【解析】因为、，所以，则、，所以，所以， 故选：B. （7）若向量，，则（ ） A. B. C.3 D. 【解析】则=故选：D. 【变式训练1】 1．已知，若，则实数的值为 （　　） A.-2 B. C. D.2 2．已知，且，则（　　） A. B.2 C. D. 3．若向量，，则向量与（ ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不对 4．向量与之间的夹角的大小为__________. 5．已知，，且，则________. （三）利用空间向量解决立体几何问题 1.直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 平面法向量的求法：设平面的法向量为n=(x, y, z)，在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，法向量与平面内任意向量垂直建立方程组，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量. 2.利用空间向量证明空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）平行： 线线平行：若，则； 线面平行：若，则； 面面平行：若，则. （2）垂直： 线线垂直：若，则； 线面垂直：若，则 面面垂直：若，则. ★★★3.利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝． 如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足： |cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 4.利用空间向量求距离 （1）两点间的距离 设点，为空间两点， 则两点间的距离. （2）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离 5、利用向量法证明平行问题 【例1】如图,已知长方体ABCD－A1B1C1D1中E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点,AD＝AA1＝a,AB＝2a. 求证：MN∥平面ADD1A1. 【解析】以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0, 2a,0)，D1(0, 0, a)，E(a, 2a, 0), ∵M、N分别为AE、CD1的中点， ∴M(a, a,0)，N(0, a,). ∴. 取n＝(0,1,0),显然n⊥平面A1D1DA，且·n＝0∴⊥n. 又MN平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1. 6、利用向量法证明垂直问题 【例2】（1）如图,已知正四棱锥V-AB