立体几何平行证明应用及其习题 专题-2024届高三艺术生数学一轮复习

7.3直线、平面平行的判定及其性质 1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行⇒线面平行 图形语言 符号语言 aα，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 作用 证明直线与平面平行 2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 3．平面与平面平行的判定定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行⇒面面平行 图形语言 符号语言 a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面平行 4．平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 简记为：面面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明线线平行 【例5】（1）如图，菱形中，将△沿向上折起，折起后的点记为，连接．若为的中点，证明：平面； 证明：连接，交于点，连接、， ∵为菱形，∴为中点 又∵E为的中点，∴∴平面 又 平面，平面. （2）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F分别为棱AB，PC的中点，求证：EF∥平面PAD． 证明：取PD的中点M，连接FM，AM， 因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM=CD． 因为四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点， 所以EA∥CD，且EA=CD，所以FM∥EA，且FM=EA， 所以四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM.又AM平面PAD，EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD． （3）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面BDC1∥平面AB1D1． 证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，AD1平面BDC1， BC1平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1． 同理可证，B1D1∥平面BDC1． 又因为AD1∩B1D1=D1，AD1，B1D1都在平面AB1D1内，所以平面AB1D1∥平面BDC1． 【变式探究3】 (1)如图，三棱柱ABC—A1B1C1中， D为AC的中点． 求证：AB1//面BDC1 (2)如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、 PD的中点． 求证：AF∥平面PCE； (3)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点． 求证：OE∥平面BCC1B1. (4)在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形. 求证AE∥平面BFC． 习题： 7.3 平行的证明 1、设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 2、已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E是 PD的中点。求证：PB//平面 AEC. 4、在三棱柱ABC—A1B1C1中， D是 AC的中点。求证：AB1//平面DBC1 5、已知ABC-A1B1C1是底面为正三角形的棱柱，D是AC的中点。求证：AB1//平面DBC1 6、在三棱柱中， 为中点.求证：平面 7、ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点。求证：BD1//平面C1DE 8、如图，四棱锥中, ∥，,分别为线段的中点. 求证：∥平面 9、如图所示，在四棱锥P­ABCD中，， E为PD的中点。求证：CE∥平面PAB. 10、如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADHM是矩形，点P为DH的中点，点E为AB的中点. 求证：AP∥平面HEC. 11、、如图，在四棱锥P-ABCD中，，点E为棱PB的中点．求证：CE//平面PAD． 12、如图，三棱柱的底面是正三角形D是AC的中点.求证：平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$