立体几何体基础运算及其习题 专题-2024届高三艺术生数学一轮复习

第七章、立体几何 一、空间几何体的结构 （1）多面体 几何体 结构特征 备注 棱柱 ①底面互相平行. ②侧面都是平行四边形. ③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行. 按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 棱锥 ①底面是多边形. ②侧面都是三角形. ③侧面有一个公共顶点. 三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底. 三棱锥又称为四面体. 棱台 ①上、下底面互相平行，且是相似图形. ②各侧棱的延长线交于一点. ③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥． （2）旋转体 几何体 结构特征 备注 圆柱 ①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆. ②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等. ③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. 圆锥 ①底面是圆面. ②有无数条母线，长度相等且交于顶点. ③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形. 圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. 圆台 ①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. ②有无数条母线，等长且延长线交于一点. ③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形. 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到. 球 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面. ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：. 球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到. ◆特殊的棱柱和棱锥： (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 二、空间几何体的表面积与体积 1．求表面积 圆柱（底面半径为r，母线长为l） 圆锥（底面半径为r，母线长为l） 圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l） 侧面展开图 底面面积 侧面面积 表面积 2．求体积 几何体 体积 柱体 (S为底面面积，h为高) (r为底面半径，h为高) 锥体 (S为底面面积，h为高) (r为底面半径，h为高) 台体 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， (r′、r分别为上、下底面半径，h为高) 【例1】1．已知圆柱O′O的底面半径为r，母线长是底面直径的2倍，则圆柱O′O的表面积是(　　) A．4πr2 B．10πr2 C．8πr2 D．6πr2 【解析】选B　∵母线l＝2×2r＝4r，∴S侧＝2πr·l＝2πr·4r＝8πr2，S表＝2πr2＋8πr2＝10πr2. 2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． cm 【解析】　由条件得：， ∴3r2＝12，∴r＝2. 3、如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A　易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝. 4、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的容积约为( ) A. 100 cm3 B. 205 cm3 C. 300 cm3 D.400 cm3 【解析】选B 解法一： 解法二：如图，设小圆锥的高为x cm ，则 ，解得x=6， 所以该壶的容积为 【变式探究1】 1、圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________． 2、如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥