2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题同步基础练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版高中数学选修1 第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 同步基础练习 设椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，则过焦点且垂直于长轴的弦长是 A． B． C． D． 直线 被椭圆 所截得线段的中点的坐标是 A． B． C． D． 已知双曲线 ，过右焦点的直线交双曲线于 ， 两点，若 中点的横坐标为 ，则弦 的长为 A． B． C． D． 已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若点 恰为弦 的中点，则直线 的斜率是 A． B． C． D． 直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点，且线段 的中点的横坐标是 ，则直线 的斜率是 ． 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，，并且经过点 ． (1) 求椭圆的标准方程； (2) 若直线 与椭圆交于 ， 两点，求 中点的坐标和 的长度． 已知椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 ．直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，． (1) 求椭圆 的方程； (2) 设直线 方程为 ，先用 表示 ，然后求其最大值． 已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交拋物线于 ， 两点，且 ． (1) 求该抛物线的方程； (2) 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值． 答案 1. 【答案】D 【解析】设椭圆焦点在 轴上，椭圆的标准方程为 ，将 或 代入椭圆的标准方程得 ， 所以 ，解得 ，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是 ． 故选D． 2. 【答案】C 【解析】联立方程，得 消去 并整理，得 ． 设直线与椭圆的交点 ，，中点 ． 所以 ，，， 所以中点坐标为 ． 3. 【答案】D 【解析】双曲线 ，则 ， 设双曲线 的右焦点为 ，则 ， 根据题意易得过 的直线斜率存在，设为 ，，， 联立 化简得 ， 所以 ，， 因为 中点的横坐标为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 则 ， 则 ． 4. 【答案】C 【解析】设 ，， 则 ，， 则 ，， 两式相减得 ， 所以 ， 即直线 的斜率是 . 5. 【答案】 或 【解析】因为直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 ， 两点， 所以斜率不为 ， 设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ， 由根与系数的关系得 ，， 所以 ，解得 ， 所以直线 的方程为 ， 所以 ． 6. 【答案】 (1) 由于椭圆的焦点在 轴上， 所以设它的标准方程为 ， 由椭圆定义知 ， ， 所以 ， 所以 ， 所求椭圆的标准方程为 ． (2) 设 ，， 联立得 消去 得 ， 得 ，． 设 的中点坐标为 ， 则 ，， 所以 中点的坐标为 ， 由弦长公式得 ． 7. 【答案】 (1) 由题意得 解得 ，． 所以椭圆 的方程为 ． (2) 设 ，． 由 得 ， 由直线与椭圆交于两点，故可得 ， 解得 ， 又 ，． 所以 故当 ，即直线 过原点时， 最大，最大值为 ． 8. 【答案】 (1) 抛物线 的焦点为 ， 所以直线 的方程为 ， 由 消去 得 ， 所以 ，由拋物线的定义得 ， 即 ， 所以 ． 所以抛物线的方程为 ． (2) 由 知，方程 可化为 ，解得 ，， 故 ，． 所以 ，． 则 ， 所以 ． 因为 为抛物线上一点， 所以 ， 整理得 ， 所以 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$