专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题 二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求. 37 / 40 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 知识点梳理 一、定值问题 二、定点问题 题型一 面积定值 2022·山东淄博·中考真题 2023·福建厦门三模 题型二 线段长为定值 2024届湖北天门市九年级月考 2024届福建龙岩市统考期中 2020·西藏·中考真题 题型二 线段和定值 2023广州市二中月考 2022·四川巴中·中考真题 2024届湖北黄石市·九年级统考 2023·四川乐山·统考二模 2023·海口华侨中学考模 2023·江苏徐州·4月模拟 2022·湖南张家界·中考真题 题型三 加权线段和定值 2023·四川广元·中考真题 2020·四川德阳·中考真题 题型四 线段乘积为定值 2023·四川南充·中考真题 2024届·武汉市东湖高新区统考 2024届福建省福州屏东中学月考 2024届福州市晋安区统考 2023·福建福州·校考三模 题型五 比值为定值 2023年广西钦州市一模 2023福建厦门一中模拟 2023年福州市屏东中学中考模拟 武汉·中考真题 题型六 横（纵）坐标定值 2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题 2024届湖北潜江市初12校联考 题型七 角度为定值 2023·成都武侯区西川中学三模 四川乐山·统考中考真题 题型八 其它定值问题 2023·浙江湖州·统考一模 2024届福建省南平市统考 2023年湖北省武汉市新观察中考四调 题型九 结合韦达定理求定点 2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟 2024届武汉市青山区九年级统考 2024届武汉市新洲区12月统考 2024届·福建厦门市第九中学期中 2023·武汉光谷实验中学中考模拟 2023广东省梅州市九年级下期中 2024届福州市九校联盟期中 2023年湖北省武汉市新观察中考四调 题型十 已知定值求定点 2024届武汉市洪山区九年级统考 2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中 2023年广州市天河外国语学校中考三模 知识点梳理 一、定值问题 一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用: 1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。 2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。 简单的引例1如下：若线段AB＝x＋2，线段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值．       简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y＝x²－2（m＋1）x＋m（m＋2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为x1＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值 二、定点问题 函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。 方法：使待定的系数k失去影响力 【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点. 第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k 第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了 令，此时 在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点 总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了! 【例2】（2022·山东日照真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． 证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标； 【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值． 【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，， ∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是 【例3】（2022·江苏连云港·真题）已知二次函数，其中．求证：二次函数的顶点在第三象限 【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可； 【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为． ∵，∴，∴，∴． ∵，∴二次函数