立体几何核心考点（三）几何体的外接球讲义-2024届高三数学二轮复习

2024届立体几何核心考点（三）几何体的外接球 一．基础知识： 1.正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 2.正四面体：由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等. 3.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内 4.三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，如下图． 二．经典例题： 1．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 2．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 3．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（       ） A． B． C． D． 2024届立体几何核心考点（三）几何体的外接球 一．基础知识： 1.正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 2.正四面体：由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等. 3.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内 4.三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，如下图． 二．经典例题： 1．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 解析：如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体， 则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为， 正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A 2．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 解：如下图所示， 将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、， 则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为， 由勾股定理得，上述三个等式全加得， 所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故选：． 3．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（       ） A． B． C． D． 解：因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示， 又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为， 即球的直径，其中是球的半径；所以球的表面积为.故选:B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$