山东省德州市第一中学2023-2024学年高三上学期12月阶段性测试数学试题

高三年级12月份阶段性测试 数学试题 考试时间：120分钟 第I卷（共60分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（ ） A. 且 B. C. D. 或 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 5. 生物有机体死亡后，体内碳-14元素便以5730年的半衰期（放射性强度达到原值一半所需要的时间）开始衰变并逐渐减少.考古学家利用碳-14元素的放射性建立了测算年代的数学模型（为碳-14元素剩余量与初始量之比，为生物死亡后的时间）.陕西石峁遗址是21世纪世界重大考古发现之一，一经发现便震惊世界.考古人员曾在遗址的某处城墙中，提取了木制样本组织，并检测出碳-14含量为，因此我们推测此城墙建立的时间大概距今______年.（，）（ ） A. 3800 B. 4000 C. 4200 D. 4400 6. 如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，是双曲线：的左焦点，为的右顶点，过作的渐近线的垂线，垂足为，且与轴交于点.若直线经过的靠近的三等分点，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C D. 10. 已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式一定成立的是（　　） A. ac＜bc B. ca＜cb C logac＞logbc D. sinc＞sina 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 是以为周期的函数 C. 的所有零点为， D. 的图象关于点中心对称 12. 设函数，则（ ） A. B. 函数有极大值为 C 若，则 D. 若，且，则 第II卷（共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线的斜率为2，且和坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为______. 14. 把个位､十位､百位上的数依次成等差数列（公差小于0）的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有__________个. 15. 如图，两个等腰直角和的腰长分别为，，点在轴上，轴垂直平分，且抛物线经过点，，则______． 16. 已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分，且分别与棱DD1，CC1交于点H，M. （1）若DH=DC=9，则三棱柱ADH−BCM外接球的表面积为________； （2）现同时将两个球分别放入被平面分成的两部分几何体内.在平面变化过程中，这两个球半径之和的最大值为________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设向量，满足，且. （1）求与的夹角； （2）求的大小. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值． 19. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的中点，且AA1⊥CM. （1）证明：MN∥平面ABC； （2）若AB⊥A1B，求二面角A­-CM­-N的余弦值. 20. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和. 21. 如图所示，已知椭圆：与直线：.点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，A、B为切点，是坐标原点. （1）若点为直线与轴的交点，求的面积； （2）若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.（注：椭圆在其上一点处的切线方程为） 22. 已知函数，为导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 高三年级12月份阶段性测试 数学试题 考试时间：120分钟 第I卷（共60分） 一、单项选择题（本大