精品解析：江苏省南京市第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题

南京一中2023-2024学年第一学期12月阶段性检测试卷 高三数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 在空间中，直线平面的一个充要条件是（ ） A. 内有一条直线与平行 B. 内有无数条直线与平行 C. 任意一条与垂直的直线都垂直于 D. 存在一个与平行的平面经过 3. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ） A 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 5. 已知满足，且当时，，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 6. 对于实数x，表示不超过x的最大整数.已知数列的前n项和为，且，，则数列的前1000项和为（ ） A. 1890 B. 1891 C. 1893 D. 1896 7. 已知双曲线的上下焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若直线与圆E：相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线相切，则曲线在处切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定形式是“” B. “复数”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 函数 的最小值为4 10. 甲袋中有3个白球和5个黑球；乙袋中有4个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出2个球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是2个白球”､“取出的是1个白球1个黑球”､“取出的是2个黑球”；再从乙袋中随机取出1个球，以D表示事件“取出的是白球”，则（ ） A. 事件A，B，C是两两互斥的事件 B. C. D 事件D与事件A相互独立 11. 已知直线与⊙O：交于A，B两点，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 使得的直线l有2条 C. 面积的最大值为 D. ⊙O在A，B两点处的切线的交点在直线上 12. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是棱BC，上的中点，点P为平面ABCD内的动点，则下列命题正确的有（ ） A. 平面AEF截该正方体所得的截面图形是五边形 B. 若点P到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点P的轨迹是抛物线 C. 若与AB所成的角为，则点P的轨迹是双曲线 D. 以B为球心，为半径的球面与平面AEF相交所得曲线的面积为 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设数列的前项和为，且.请写出一个满足条件的数列的通项公式______. 14. 近日，在2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛决赛中，某校有4位学生获得金牌或银牌，破格入围了清华大学与北京大学的强基计划，这4位学生都可以在这2所大学中任选1所填报，则填报这2所大学的人数相同的概率为____. 15. 已知函数，则不等式的解集是_____. 16. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为的中点.若，点M到l的距离为4，则p的值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，，，D在上，且满足. （1）求证：D为的中点； （2）若，求的面积. 18. 某商场在“双十二”那天进行有奖促销，规定凡在该商场购物满元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的个球(红、黄、白、黑).顾客不放回的每次摸出个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定：摸到红球奖励元，摸到白球或黄球奖励元，摸到黑球不奖励. （1）求名顾客摸球次摸奖停止的概率； （2）记为名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望. 19. 如图，在三棱柱中，平面⊥平面，侧面是正方形，，，点E为