专题二 与绝对值有关的问题探究（2） 2023—2024学年人教版数学七年级上册

七年级数学上期末培优专题复习 专题二 与绝对值有关的问题探究 一、绝对值的定义：一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 1.1 如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0 1.2 绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。 二、绝对值的非负性： 2.1 任何绝对值的考察，一定考虑0的特殊性，即a=0的情况 2.2 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式） 三、几何意义：|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离 3.1:式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离 3.2:式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。 4、 利用绝对值比较大小：正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较绝对值大的反而小。 类型一、利用绝对值的性质求值 【例1-1】当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2 【例1-2】已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值． 针对练习1 1 .若|x|＝1，则x＝________． 2 .如果若|x－2|＝1，则x＝________． 3 .若，则a是（    ） A．正数或0 B．0 C．负数或0 D．正数 4．若，则 ． 类型二、化简含绝对值的式子 【例2-1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【例2-2】如图，已知a、b、c在数轴上的位置． （1）a+b　 　0，abc 　 　0，　 　0．填（“＞”或“＜”） （2）如果a、c互为相反数，求＝　 　． （3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|． 【例2-3】已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示， (1)化简：； (2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值． 针对练习2 1 .若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣c|﹣|b+c|可化简为　 　． 2 .若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示． (1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0； (2)化简． 3 .有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．    类型三、绝对值的非负性的应用 【例3-1】若|a﹣1|+(b-3)2＝0，则b﹣a﹣的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【例3-2】，则的值是（    ） A． B． C． D．1 针对练习3 1 .若，则（　　） A． B． C．5 D．3 2 .如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． ． 3 .已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝ ． 类型四、分类讨论化简含绝对值的式子 【例4-1】若，则_______． 【例4-2】已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 针对练习4 1 .若，则 ． 2 .（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 3 .当a≠0时，请解答下列问题： （1）求的值； （2）若b≠0，且，求的值． 类型五、利用绝对值的几何意义化简绝对值 【例5-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【例5-2】同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________； （2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x=________； （3）类似的|x+5|+|x