04二次函数中等腰三角形存在性问题-备战2024年中考数学二次函数满分训练（全国通用）

二次函数中等腰三角形存在性问题 【牛刀小试】 如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q．如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标． 【分析】由于△APQ的腰与底边不确定，故应分AQ＝PQ，AQ＝AP及PQ＝AP三种情况进行讨论．设P（2a，0）； 由△POQ∽△BOA可得，2，推出PO＝2OQ，Q（0，a），可得PQ，AQ，PA＝1+2a，分别列出方程即可解决问题． 【解答】解：∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣1，0），B（0，2）． 当AQ＝PQ时， ∵OA＝1， ∴OP＝1，即P（1，0）； 设P（2a，0）； 由△POQ∽△BOA可得，2， ∴PO＝2OQ，Q（0，a）， PQ，AQ，PA＝1+2a， 当PQ＝AP时， 则有；求得a 此时P（，0）． 当AQ＝AP时， 解得a＝0（舍去）或a（舍去） 综上所述，P点坐标为（1，0）或（24，0）． 【考点探究】 考点1：求参数的值 【典例】已知二次函数y＝mx2﹣6mx+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，那么m的值为 　　． 【分析】令二次函数y＝mx2﹣6mx+6＝0，可得含参数m的A、B点的公式，再由△ABC是以BC为底的等腰三角形，可知|AB|＝|AC|，根据两点间距离公式可算出m的值． 【解答】解： 令y＝mx2﹣6mx+6＝0， 由题意可知，Δ＝36m2﹣24m＞0即m＜0或， 则可以得出 ，， 再令x＝0，y＝6，则可以得出点C（0，6）， ∵△ABC是以BC为底的等腰三角形， ∴AB＝AC，则|AB|＝|AC|， ， ， ∵|AB|＝|AC|， ∴， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了两点间距离公式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等内容，熟记两点间距离公式是解题的关键． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，抛物线y＝a（x﹣1）2+c（a＜0）的顶点为D，且经过点A、B．若△ABD为等腰直角三角形，则a的值为　　． 考点2：求点的坐标 【典例】已知有如下抛物线：y＝﹣x2+bx+c，经过A，B，C，已知A为（﹣1，0），C（0，3），请回答以下题目： （1）求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； （2）若点D在x轴上方的抛物线上，当△ACD是以AC为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）根据△ACD是以AC为底边的等腰三角形，可得CD＝AD，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，经过A（﹣1，0），C（0，3）两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线的顶点的坐标为（1，4）； （2）令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 设D（x，﹣x2+2x+3），且﹣1＜x＜3， ①∵C（0，3）， ∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10， CD2＝x2+（﹣x2+2x）2， AD2＝（x+1）2+（﹣x2+2x+3）2， ∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形， ∴CD＝AD，即x2+（﹣x2+2x）2＝（x+1）2+（﹣x2+2x+3）2， ∴x2+（﹣x2+2x）2＝x2+2x+1+（﹣x2+2x）2+6（﹣x2+2x）+9， 整理得：3x2﹣7x﹣5＝0， 解得：x或， ∴D（，）或（，）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 【变式】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点C关于抛物线对称轴的对称点为P，连接PB，PC． （1）点P的坐标为 　　． （2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当△BPM是等腰直角三角形时，点M的坐标为 　　． 同步练习 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M（0，﹣8），与x轴交于A、B（4，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若将该抛物线沿着x轴向左平移4个单位，新抛物线顶点为点D，与x轴交于A1，B1两点（点B1在A1的左边）若点Q是y轴上一动点，当点Q，D，A1构成等腰三角形时，请求出点Q的坐标． 2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．