精品解析：广东省广州市第四中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

广州市第四中学2023学年第一学期12月月考 高二数学 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上） 1. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，已知，，则（ ） A. 4 B. C. D. 4. 如图所示,在正方体中,点F是侧面中心,设,则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ） A B. C. D. 8. 等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论错误的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. D. 二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．错选不得分，部分选对得2分，全选对得5分） 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l必过点 B. 直线l与圆E必相交 C. 圆与圆E有3条公切线 D. 当时，直线l被圆E截得的弦长为 10. 数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 数列中的最小项是第2项 11. 如图，若长方体的面是边长为2的正方形，高为．E是的中点，则（ ） A. B 平面平面 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点C到平面的距离为 12. 已知过点，倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点．过线段AB中的中点P作平行于y轴的直线，分别与抛物线C和其准线相交于点M，N．则下列说法正确的是（ ） A. 点M是线段PN的中点 B. 直线AN与抛物线C相切 C. D. 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分满分20分） 13. 在平面直角坐标系中，椭圆中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________． 14. 记等比数列的前n项和为，若，则________． 15. 在长方体中，，P为CD中点，则点P到直线的距离为________． 16. 如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______. 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17. 分别求满足下列条件的直线方程. （Ⅰ）过点，且平行于:的直线； （Ⅱ）与:垂直，且与点距离为的直线. 18. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 19. 设等差数列的前n项和为，且． （1）求的最大值及取得最大值时的n的值； （2）若数列满足，求数列的通项公式． 20. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m． （1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； （2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少． 21. 如图，在四棱锥中，已知且四边形ABCD为直角梯形，分别为PA，PD的中点. （1）求证：平面； （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长. 22. 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市第四中学2023学年第一学期12月月考 高二数学 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上） 1. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0斜率为k=， 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或