四川省宜宾市叙州区第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

叙州区一中2023年秋期高二第三学月考试 数学试题 本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为 A．45 B．50 C．55 D．60 2．直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为 A． B． C． D． 3．准线方程为的抛物线的标准方程为 A． B． C． D． 4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是 A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球” 5．已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为 A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是 A． B． C． D． 7．的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆方程是 A． B． C． D． 8．已知双曲线的渐近线分别为，，点是轴上与坐标原点不重合的一点，以为直径的圆交直线于点，，交直线于点，，若，则该双曲线的离心率是 A．或 B．2 C．或2 D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的是 A．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03 B．n的值为200 C．样本中支出不少于40元的人数为132 D．若该校有2 000名学生，则一定有800人支出在[50，60)元 10．已知曲线，则 A．若，，则曲线C表示椭圆 B．若，则曲线C表示双曲线 C．若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率 11．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆.现有，，.以所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则 A．点A的轨迹方程为 B．点A的轨迹是以为圆心，3为半径的圆 C．面积的最大值为12 D．当时，的内切圆半径为 12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点P），则下列说法正确的是 A．对任意点，则有、、、四点共面 B．存在点，使得、、、四点共面 C．对任意点，则有平面 D．存在点，使得平面 第II卷 非选择题（90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为 . 14．与共线的单位向量是 . 15．已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 . 16．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知两条直线和. （1）若，且过点，求的方程； （2）若与在轴上的截距相等，且的斜率为，求在轴上的截距. 18．（12分）已知圆C经过、，圆心C在直线上，过点且斜率为k的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求圆C的方程； (2)若（O为坐标原点），求直线l的方程． 19．（12分）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表： 第一轮 甲VS乙 丙VS丁 第二轮 甲VS丙 乙VS丁 第三轮 甲VS丁 乙VS丙 规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. (1)求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由； (2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率. 20．（12分）已