27.2 相似三角形的判定与性质（讲+练）13大题型-2023-2024学年人教版数学九年级下册

27.2 相似三角形的判定与性质 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 题型1：相似三角形 1.1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】下列四对图形中，是相似图形的是(      ) A．任意两个三角形 B．任意两个等腰三角形 C．任意两个直角三角形 D．任意两个等边三角形 【变式1-2】用一个5倍的放大镜去观察一个三角形，对此，四位同学有如下说法： 甲说：三角形的每个内角都扩大到原来的5倍； 乙说：三角形的每条边都扩大到原来的5倍； 丙说：三角形的面积扩大到原来的5倍； 丁说：三角形的周长都扩大到原来的5倍．上述说法中正确的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．乙和丁 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 注意：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 题型2：平行线分线段成比例 2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中、已知，，，，求的长．    【变式2-3】如图，，． （1）若，，求的长； （2）若，求的长． 相似三角形的判定定理（一） 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 题型3：相似三角形的判定定理1 3.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件不能使△ADE∽△ABC相似的是（　　） A．DE∥BC B．AD︰AB=DE︰BC C．AD︰DB=AE︰EC D．∠BDE+∠DBC=180° 【变式3-1】如图，在中，，，交于点O，则图中与相似的三角形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式3-2】如图，△ABC中，∠ADE=∠B=∠ACD． （1）写出图中所有的相似三角形（每两个三角形相似为一组，分组写）； （2）选择（1）中的一组给与证明． 相似三角形的判定定理（二） 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 题型4：相似三角形的判定定理2 4.依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由． （1）AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm． （2）AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm， A′B′＝16cm，B′C′＝12.8cm，A′C′＝25.6cm． 【变式4-1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．求证：．    【变式4-2】一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 相似三角形的判定定理（三） 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 题型5：相似三角形的判定定理3 5.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，． 求证：△ACD∽△ABC． 【变式5-1】如图，点，在线段上，，，求证：．    【变式5-2】如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 相似三角形的判定定理（四） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 题型6：相似三角形的判定定理4 6.如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°