河南省济源市英才学校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

1 一、 选择题(每小题 5分,共 12小题 60 分) 1. 一个扇形的弧长为6,面积为6,则这个扇形的圆心角是 2023-2024学年河南省济源市英才学校高二上学期开学考试 数学试卷 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 角𝛼的终边与单位圆的交点坐标为( √3 2 , 1 2 ),将𝛼的终边绕原点顺时针旋转 3𝜋 4 ,得到角𝛽,则𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = ( ) A. √ 6−√2 4 B. √ 6+√2 4 C. √ 3−1 4 D. 0 3. 希尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出,先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的 中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色代表挖去的面积,那么黑三角形为剩下的面积(我们称黑 三角形为希尔宾斯基三角形).在如图第3个大正三角形中随机取点,则落在黑色区域的概率为( ) A. 3 5 B. 9 16 C. 7 16 D. 2 5 4. 运行如图所示的程序框图,若输出的𝑆的值为258,则𝑛的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5、将函数 的图像平移后所得的图像对应的函数为 ，则进行的平移是（ ） A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 6、 若函数 的部分图象如图所示，则其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 7、在等差数列 中,前 项和为 ,已知 , ,则 ( ) A. B. C. D. 8、已知点 ,线段 的中点坐标为 ,向量 ,若向量 ,则 ( ) A. B. C. D. 9、若点 是 所在平面内的一点,且满足 ,则 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 10、已知单调递增的等比数列 其前 项和 ,若 , ,则 ( ) A. B. C. D. 11、如图所示， 点在 内部， 、 分别是 ， 边的中点，且有 ，则 的面积与 的面积的比为( ) A. B. C. D. 12．已知 （0＜α＜π），则 ＝（ ） A． B． C． D． 二、填空题(每小题 5 分,共 4小题 20分) 13、已知 ，则 __________． 14、已知函数 对任意实数 都有 成立,且 ,则实数 的值为__________. 15、如图,在平行四边形 中, ,垂足为 , ,则 __________. 16. 在ΔABC中,角𝐴,𝐵,𝐶所对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,?⃗⃗? = (𝑠𝑖𝑛𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐵),?⃗? = (𝑐𝑜𝑠𝐵, 𝑐𝑜𝑠𝐴),若?⃗⃗? ∙ ?⃗? = 𝑠𝑖𝑛2𝐶,则角𝐶 = __________. 三、解答题(17题 10分，18-22小题 12分,共 6小题 70分) 17. 已知函数𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 𝑥 − 1. (1)求𝑓(𝑥)的零点; (2)若𝛼为锐角,且𝑠𝑖𝑛𝛼是𝑓(𝑥)的零点. (ⅰ)求 𝑡𝑎𝑛(𝜋+𝛼)∙𝑐𝑜𝑠(−𝛼) 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 2 −𝛼)∙𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)的值; (ⅱ)求𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜋 6 )的值. 2 18. 某市2月份到8月份温度在逐渐上升,为此居民用水也发生变化,如表显示了某家庭2月份到6月份的用水情况. (1)根据表中的数据,求𝑦关于𝑥的线性回归方程?̂? = ?̂?𝑥 + ?̂?. (2)为了鼓励市民节约用水,该市自来水公司规定若每月每户家庭用水不超过7吨,则水费为2.5元/吨;若每月每户家庭用水超过7吨,则超出部分水 费为3元/吨.预计该家庭8月份的用水量及水费. 参考公式:回归方程?̂? = ?̂?𝑥 + ?̂?中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为?̂? = ∑ 𝑖=1 𝑛 (𝑥𝑖−?̅?)(𝑦𝑖−?̅?) ∑ 𝑖=1 𝑛 (𝑥𝑖−?̅?) 2 = ,?̂? = ?̅? − ?̂??̅?. 19、