江苏省江阴市第一中学2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题

高三上期 数学试题 2023.12 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2、设复数(i是虚数单位),则( ) A. B. C.1 D.2 3、若非零向量满足，且，则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 4、设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是( ) A. B. C. D. 5、已知，.设，，，则( ) A. B. C. D. 6、已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 7、“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排A，B，C，D，E，F，G，H共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生A不安排看望老人甲，学生B不安排看望老人乙，则安排方法共有( ) A.1260种 B.2520种 C.1440种 D.1890种 8、已知为坐标原点,过点作两条直线分别与抛物线相切于点,的中点为,下面给出了四个结论: ①直线过定点; ②的斜率不存在; ③y轴上存在一点,使得直线与直线关于y轴对称; ④两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值. 其中正确结论的编号是( ) A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9、等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是( ). A. B. C.当时最小 D.时n的最小值为8 10、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出后用水补满，摚拌均匀.第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中纯药液含量不超过容积的，则V的可能取值为( ) A.5 B.20 C.35 D.50 11、在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则( ) A.当时，的周长为定值. B.当时，三棱锥的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点P，使得 D.当时，有且仅有一个点P，使得平面 12、若，那么下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、已知函数，，若有最小值-2，则的最大值为_________. 14、某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________. 15、如图，在棱长为1的正方体中，直线AC到平面的距离等于____________. 16、在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（10分）记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，. （1）求的面积； （2）若，求b. 18、（12分）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）证明：. 19、（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且. （1）求证：平面平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 20、（12分）双曲线的左、右焦点分别为、,直线l过且与双曲线交于A、B两点. （1）若l的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; （2）设,若的斜率存在,且 ,求l的斜率. 21、（12分）销售费用预算是以销售收入预算为基础，通过分析销售收入、销售利润和销售费用的关系，力求实现销售费用的最有效使用.根据往年的相关数据显示，某高新技术企业的年销售费用占年销售收入的为合理区间，当年销售费用超出年销售收入的，说明企业的销售环节出现一定的问题，需要加强销售管理.下表为该企业的年销售费用x(单位：千万元)和年销售收入y(单位：千万元)的相关数据： 2017 2018 2019 2020 2021 2022 x 3 5 6 8 9 11 y 31 50 54 86 85 114 (1)求年销售费用x的方差. (2)通过数据分析，该企业的年销售用x与年销售收入y之间符合线性相关关系，求出线性回归方程. (3)若该企业2023年预算