2024届高三数学二轮复习培优练15：定比点差法与截距点差法

培优练15 定比点差法与截距点差法 一、基本技能练 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点， (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l过椭圆的右焦点F，且|AF|＝2|FB|，求直线l的方程. 2.已知椭圆C：＋＝1.过点P(0，3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的取值范围. 3.已知椭圆C：x2＋3y2＝3.过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由. 二、创新拓展练 4.已知椭圆C：＋y2＝1.点A(0，1)，过点B的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x轴的交点分别为P，Q，证明：以PQ为直径的圆过定点. 参考答案 1.解　(1)＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AF|＝2|FB|，所以F， 所以 因为 两式相减整理得x1－2x2＝－3， 由 解得x1＝0， 则y1＝±，即A(0，±)， 因为直线l过A，F两点， 所以直线l的方程为x±y－＝0. 2.解　设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 又P(0，3). 可设＝λ，由定比分点得 ∵∴ 作差得 ＋ ＝1－λ2， ∴＋＝1－λ. 将＝0，＝3代入上式，得 y1－λy2＝(1－λ). 又y1＋λy2＝3(1＋λ)，得y1＝＋λ. 由y1∈[－2，2]，得λ∈， ∴＝|λ|∈. 3.解　由题意不妨设＝λ，A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵D(1，0)， ∴ ∵ ∴ 作差法得 (x1－λx2)(x1＋λx2)＋3(y1－λy2)(y1＋λy2) ＝3－3λ2， ∴(x1－λx2)＋3(y1－λy2) ＝3(1－λ). 将＝1，＝0代入上式， ∴x1－λx2＝3(1－λ). 又x1＋λx2＝1＋λ，解得x1＝2－λ. ∵＝(2－x1，1－y1)， ＝(1，yM－1)，且A，E，M三点共线. 不妨设＝μ，则有μ＝2－x1＝λ. 由得DE是△AMB的等比分线，故DE∥MB， 即直线BM与直线DE是平行关系. 4.证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(m，0)，Q(n，0). 由A，M，P共线，知＝， ∴m＝－， 由A，N，Q共线，知＝， ∴n＝－. 以P，Q为直径的圆的方程为(x－m)(x－n)＋y2＝0， 即x2－(m＋n)x＋mn＋y2＝0. 又直线MN过点B， 由截距点差法得x1y2－x2y1＝(x1－x2)，① x1y2＋x2y1＝＝2＝2(x1＋x2).② 由①②得 由x2y1＝x2＋x1得x2＝， 由x1y2＝x1＋x2得 y2＝＋·＝. ∴n＝＝＝，mn＝－6， ∴以P，Q为直径的圆的方程为 x2－(m＋n)x＋y2－6＝0，令x＝0， 可得y2＝6， ∴PQ为直径的圆过定点(0，±). 学科网（北京）股份有限公司 $$