2024届高三数学二轮复习培优练14：抛物线的切线与阿基米德三角形

培优练14抛物线的切线与阿基米德三角 形 一、基本技能练 1.(2022汕头二模)已知抛物线C:x2=4y,直线1与抛物线C交于A,B两点，过 A,B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y=x一5上.若4B=24P, 求点P的坐标 2.如图，抛物线C1:x2=4y,C2:x2=一2py(p>0).点M(xo,o)在抛物线C2上， 过M作C1的切线，切点为A,BM为原点O时，A,B重合于O).当xo=1一2 时，切线MA的斜率为一12. (1)求p的值； (2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时，中点 为O). 3.(2022苏州模拟)已知椭圆C1:x2a2十y2b2=1(a>b>0)且经过P1(-2,0),P2 aivs4alco1(1,f32),P3as41alco1(1,-f32,P4(1,-1)中的三点，抛物 线C2:y2=2px(p>0),椭圆C1的右焦点是抛物线C2的焦点. (1)求曲线C1,C2的方程； (2)点P是椭圆C1的点，且过点P可以作抛物线C2的两条切线，切点为A,B, 求△PAB面积的最大值. 二、创新拓展练 4.(2023·浙江强基联盟联考)已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,斜率为(k ≠0)的直线过点Pavs4 alicol(-p2),O),交C于A,B两点，且当k=12时， AF+1BF=16. (1)求C的方程： (2)设C在A,B处的切线交于点Q,证明： AFBF=AO 2BO 2. 参考答案 1.解设AG1,y),B2,y2),P(xo,yo) y'=x2, 则抛物线C在点A处的切线方程为 y-y=x12(x-x1), y=x12x-21x2+1,y=x12x-4y12+h, y=x12x-1. 同理，抛物线C在点B处的切线方程为 y=x22x一2 又两切线的交点为Pxo,y%): 所以0=fx12x22)x0-y2, 所以直线AB的方程为 yo=x2xo-y,xxo=2(y+yo). 联立x2=4y,xx0=2(y十y0),)得x2-2xox+4%=0, 则x1十x2=2x0,xlx2=4y0,) 因为4B=2AP1, rcl 所以2)sup12(2)一x =22》sup12(2)w1一x0 Arc 所以2》sup12(2)一 Arc =22s1up12(2y*1-1+x22y, 所以2)》sup12(2)一 rc =2))sup12(2)一x 又≠x2x0? 所以0=一， 又0=x1+x22, 所以2=一31， 所以y%=x1x24=-213x4, 又点P在直线y=x-5上， 所以-213x4=一1-5， 解得1=一2或=103， 故点P(2,一3)，Pavs4 alcol(-f10253). 2.解(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=x2,且切线 MA的斜率为一12，所以A点坐标为als4 alcol(-1,14),故切线MA的方 程为y=一12x+1)+14. 因为点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上，于是o=一12(2一2)+14 =-2)4,① %=-2)22p=-2)2p.② 由①②得p=2 (2)N(x,y),A21 alvs4alicol(x1,x4)),B22alvs4 allcol(x2,Vx4)), x灯x2, 由N为线段AB中点，知x=x1+x22,③ y=2122x+x8.④ 切线MA,MB的方程为y=x12x一)+21x4,⑤ y=x22(x-2)+22x4,⑥ 由⑤⑥得MA、MB的交点M(xo,yo)的坐标为xo=x1十x22,o=x1x24. 因为点Mxo,yo)在C2上，即x20=一4o: 所以2=-2122x+x6,⑦ 由③④⑦得x2=43y,≠0 当=x2时，A,B重合于原点O,AB的中点N(0,0)满足x2=43y, 因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y 3.解(1)根据对称性可得P(一2,0)， P2las4alco1(1,f32),P3avs41 alcol1,一f32)在椭圆上， 故a=2,且14+94b2=1, 故b2=3,所以C1:x24+y23=1. 椭圆C1的右焦点为(1,0)， 所以p2=1即p=2, 故C2:y2=4. (2)设点P(o,yo),PA:x=10o)十xo, PB:x=t20y-yo)十xo,其中t1H2, 由x=1(y-y0)十x0,y2=4x,) 可得y2=4[一yo)+x0, 整理得y2一4y十4tyo一4xo=0, 所以4=16t21-16t1%+16.xo=0, 故21一t%十xo=0, 由y2=4x,得y=2x020), 得y=1八rx, 所以p4=1tl=IrcA, 所以x4=t21,故A(t21,2t1), 同理2