第18章 正比例函数与反比例函数（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（沪教版）

第18章 正比例函数与反比例函数（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数 定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数. 函数记号：，表示x＝a时的函数值. 设为整式，则 函数的定义域：一切实数；函数的定义域：满足的实数； 函数的定义域：满足的实数. 【例1】（2023上·广西贺州·八年级统考期中）如图，下列各曲线中能够表示是的函数的是（　　） A．  B．  C．   D．   【变式】（2023上·陕西西安·八年级统考期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 二．正比例函数的概念 (1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数． (2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式 【例2】（2023上·安徽阜阳·八年级校考期中）下列函数中，是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2023上·安徽宿州·八年级校考期中）若函数是正比例函数，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0. 三．正比例函数的图象 (1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 【例3】（2023上·上海普陀·八年级校考阶段练习）正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 ． 四．正比例函数的性质 (1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大． (2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的 值则随着逐渐减小． 【例4】（2021上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，若正比例函数图象与四条直线相交围成的长方形有公共点，则k的取值范围是 ． 五、反比例函数的概念 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量 成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 【例5】（2023上·四川泸州·九年级校考期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式】（2022·广东湛江·校联考二模）如图，是反比例函数图象上的一点，点与坐标轴围成的矩形面积为3，则反比例函数的解析式为 ．    六、反比例函数的图像 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 【例6】已知反比例函数y=-，则下列描述正确的是（） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 七、反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 【例7】如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 八.正比例函数与反比例函数 正比例函数 反比例函数 定义 形如的函数，其中k是比例系数 形如的函数，其中k是比例系数 定义域 一切实数 不等于零的一切实数 图像 经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线； 双曲线，它有两支 性质 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y的值随x的值增大而增大； 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y的值随x的值增大而减小。 当时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小； 当时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而增大。 图像与两支无限接近坐标轴，但不相交. 【例8】（2023上·上海金山·八年级校考期中）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，那么常数k的取值范围是 ． 【变式】已知是的反比例函数，其图象位于第一、三象限内，请写出一个满足要求的反比例函数的关系式 ． 9. 函数的表示法 解析法；列表法；图像法等. 1、解析法：用等式来表示一个变量