第17章 一元二次方程（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（沪教版）

第17章 一元二次方程（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 1.一元二次方程的概念 一元二次方程 【例1】）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式】方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.一元二次方程的解法 解法 【例2】解下列方程： (1)． (2)． 【变式】解下列方程： (1)； (2)． 3.一元二次方程的判别式 【例3】（2023上·上海金山·八年级校考期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 4.二次三项式的因式分解： 步骤： 【例4】．（2023上·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式： ． 【变式】．（2023上·上海杨浦·八年级校考期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 5.一元二次方程的应用题 一般步骤： 【例5】某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个8元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为10元时，月均销量为100个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个． (1)若使这种文件夹的月均销量不低于50个，每个文件夹售价应不高于多少元？ (2)在（1）的条件下，当这种文件夹销售单价为多少元时，销售利润是320元． 6.一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2) 降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 4、传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 5.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 6、动态几何类问题： （1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；   （2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式 7.形积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 特别说明： 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想 【例6】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环赛形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛，设应邀请个队参加比赛，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【变式2】某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率． 【变式3】为促进乡村振兴发展，着力打造