2024届高三数学二轮复习培优练13：解析几何中的同构技巧

培优练13 解析几何中的同构技巧 一、基本技能练 1.(2023·揭阳质量测试)已知F是抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点.当l⊥x轴时，△OAB的面积为2. (1)求E的方程； (2)设过点F的直线l1与E交于C，D两点，且|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|.当|CD|＝8时，求直线l的方程. 2.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(，1)，且左焦点为F1(－，0). (1)求椭圆C的方程； (2)当过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，证明：点Q总在某定直线上. 3.(2023·南昌二模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，点H是直线l：x＝1上的动点，以点H为圆心且过原点的圆与直线l交于M，N两点，当点H在椭圆E上时，圆H的半径为. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线AM，AN与椭圆E的另一个交点分别为P，Q，记直线PQ，OH的斜率分别为k1，k2，判断k1k2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 二、创新拓展练 4.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 参考答案 1.解　(1)当l⊥x轴时，AB为抛物线E的通径，此时|AB|＝2p. 易知OF⊥AB，所以OF是△OAB的高， 所以△OAB的面积S＝×|AB|×|OF|＝＝2，解得p＝2， 所以E的方程为y2＝4x. (2)由题意可设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得y2－4my－4＝0，Δ>0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 根据抛物线的定义，得 |FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1， 所以|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝(my1＋2)(my2＋2)， 整理得|FA|·|FB|＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4. 设直线l1的方程为x＝m1y＋1， 同理可得|FC|·|FD|＝4m＋4. 因为|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|， 所以4m2＋4＝4m＋4， 解得m＝m1(舍去)或m＋m1＝0，即m1＝－m， 所以|AB|＝|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4， 同理可得|CD|＝4m＋4＝4(－m)2＋4＝4m2＋4. 当|CD|＝8时，即4m2＋4＝8，解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 2.(1)解　椭圆方程为＋＝1. (2)证明　设点Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题设，||，||，||，||均非零， ||∶||＝||∶||， 又P，A，Q，B四点共线， 可设＝λ1，＝λ2， 则λ1＋λ2＝0， 于是x1＝，y1＝， 由于A(x1，y1)在椭圆C上，将其代入C的方程x2＋2y2＝4，整理得(x2＋2y2－4)λ＋4(2x＋y－2)λ1＋14＝0， 同理有(x2＋2y2－4)λ＋4(2x＋y－2)λ2＋14＝0， 即λ1，λ2为方程(x2＋2y2－4)λ2＋4(2x＋y－2)λ＋14＝0的两根， 于是λ1＋λ2＝－＝0， 即2x＋y－2＝0，点Q(x，y)总在定直线2x＋y－2＝0上. 3.解　(1)由题意知a＝2， 因为＝， 所以H， 所以＋＝1， 所以b2＝3， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)设M(1，m)，N(1，n)，则H. 因为MN是圆H的直径，所以·＝0， 则mn＝－1. 设直线AM：y＝(x＋2)， 则 得(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0， 所以xP·(－2)＝， 则xP＝，yP＝， 同理xQ＝，yQ＝， 所以k1＝＝ ＝ ＝－·， 因为k2＝， 所以k1k2＝－. 4.(1)证明　设P(x0，y0)，A，B， 则PA中点为， 由AP中点在抛物线上，可得＝4， 化简得y－2y0y1＋8x0－y＝0，显然y2≠y1， 且对y2也有y－2y0y2＋8x0－y＝0， 所以y1，y2是二次方程y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不等实根， 所以y1＋y2＝2y0，yM＝＝y0＝yP，则PM垂直于x轴. (2)解　S＝(xM－xP)|y1－y2|＝(xM－x0)|y1－y2|， 由(1)可得y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y， Δ＝(2y0)2－4(8x0－y) ＝8(y－4x0)>0(y1≠y2)， 此时P(x0，y0)在半椭圆x2＋＝1(x<0)上. ∴Δ＝8(y－4x0)＝8[