立体几何核心考点（二）球的截面讲义-2024届高三数学二轮专题复习

2024届立体几何核心考点（二）球的截面 外接球问题是全国卷的超高频考点，它对考生的直观想象素养要求很高，是我们复习中必须下大力气备考的考点. 一．基础知识 若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆： （1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆； （2）如图所示，若平面不过球心，小圆圆心为，则，记，则. 二．经典例题 1．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 2．（2020全国）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3.（2020新高考）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 3． 习题演练 1．已知球O的直径，，是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知长方体的底面为正方形，P为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为_________________. 3.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，则球O的体积的最小值为_________. 4.已知有两个半径为2的球记为，两个半径为3的球记为，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球都相内切，则球O的半径为____________. 2024届立体几何核心考点（二）球的截面 外接球问题是全国卷的超高频考点，它对考生的直观想象素养要求很高，是我们复习中必须下大力气备考的考点. 一．基础知识 若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆： （1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆； （2）如图所示，若平面不过球心，小圆圆心为，则，记，则. 二．经典例题 1．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 解析：设球的半径为,则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：. 2．（2020全国）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，，为等边三角形，由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面, ， 球的表面积.故选：. 球的截面性质告诉我们，在计算多面体的外接球时，我们的思路是从平面到空间，先从该多面体的一个面出发，找到其外接圆圆心的位置，进一步，球心与该圆心的连线一定垂直于该平面，这样，就可找到球心和半径. 3.（2020新高考）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 解析：如图： 解析：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以， ，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 对于定长型动点问题，即空间中动点满足到某个定点的距离为定值，其实由球的定义可知，动点的轨迹即以定点为球心，定长为半径的球.另一方面动点会在某个其他平面上运动，所以，这实际就是一个球的截线问题. 处理这样问题的关键点有两个：第一，找到球在这个面的边界点（利用已知数据计算），第二，找到这个截面的外接圆圆心，其利用球的截面性质来算，做到上述两点，这个问题就基本上能够解决！当然，坐标法也是一个不错的手段，等会例题中将会体现. 4． 习题演练 1．已知球O的直径，，是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 解析：因为为球的直径，，是球的球面上两点，所以，又，，所以，，所以为等边三角形且，设的外接圆的半径为，则，所以，则球心到平面的距离， 所以点到平面的距离，又，所以.故选：A 2.如图，已知长方体的底面为正方形，P为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为_________________. 解析：由题意知为正三角形，取的中点M，的中心N，记，连接，过分别作平面与平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为四棱锥的外接球球心.由题意知，，所以四棱锥的外接球半径，所以四棱锥的外接球的体积. 3.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，则球O的体积的最小值为_________. 解析：本题考查空间几何体