精品解析：上海市静安区市北中学2024届高三上学期12月月考数学试题

市北中学2023-2024学年第一学期高三年级数学阶段测试卷 2023.12.14 （本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟） 注意： 1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，，若，则____________． 2. 已知，，且，是虚数单位，则____________． 3. 已知两个正数，几何平均值为1，则的最小值为____________． 4. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为_____． 5. 设圆与双曲线的一条渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为___________． 6. 内角的对边分别为，若的面积为，则_________ 7. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是_______________. 8. 已知向量，且的夹角为，，则在方向上的投影向量等于_______． 9. 已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是____. 10. 若，其中，则的最小值为___________. 11. 已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为___________ 12. 已知为上的奇函数，且当时，，则的驻点为___________． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“直线与垂直”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ） A. B. C. D. 15. 在空间中，下列命题为真命题是（ ）． A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题： ①若对任意正整数均有，则为和谐数列； ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值； 下列说法正确的是（ ）． A. ① 是真命题，② 是假命题 B. ① 是假命题，② 真命题 C. ① 和 ② 都是真命题 D. ① 和 ② 都是假命题 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）计算． 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 19. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. （1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 20. 已知椭圆:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点． （1）若椭圆的离心率是，求的值； （2）设的面积是，的面积是，若，时，求的值； （3）若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方． 21 已知， （1）求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）； （2）根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）； （3）已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 市