专题5-3 动点轨迹与角度、体积12题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 5.3动点轨迹与角度、体积 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 动点轨迹：阿波罗尼斯圆 · 【题型二】 线段中点型轨迹 · 【题型三】 定角定值型轨迹 · 【题型四】 恒垂直型轨迹 · 【题型五】 恒平行型轨迹 · 【题型六】 动点：两线动点最值 · 【题型七】 动点：面上动点最值范围 · 【题型八】 动点：系数为1的折线型 · 【题型九】 动点：系数不同的折线型 · 【题型十】 体积比 · 【题型十一】动点体积最值 · 【题型十二】角度综合 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 一、求动点轨迹 求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 二、计算距离的基础思维 （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 三、圆锥与圆台侧面展开示意图 四、相似形与相似体： 1.如果三角形被平行于底边的平行线所截，那么截得的小三角形和原三角形是相似三角形 2.如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所截得的小三棱锥与原棱锥是相似体 3.如果三角形被“不平行于底边”的直线所截，所截的的小三角形和原三角形是“相似形” 4.如果棱锥被“不平行于底面的平面”所截，那么所截得的小三棱锥与原棱锥是相似体 如果是平行底面，则面积比等于相似比平方，体积比等于相似比立方。 如果“不平行于底面”，则面积比等于所截的线段比之积（两边比积）。体积比等于所截的的棱的线段比之积（三跳棱的比之积） 热点考题归纳 【题型一】动点轨迹：阿波罗尼斯圆 【典例分析】 1.（新疆克拉玛依市2022届高三第三次模拟检测数学（理）试题）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题： 如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________. 2.（山西省长治市第二中学2021-2022学年高三数学（理）试题）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为( ) A． B． C． D． 【提分秘籍】 阿氏圆的定义与应用 定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，圆的半径为，圆心为. 【变式演练】 1.（江苏省南通中学2020-2021学年高三下学期数学试题）在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ） A． B． C． D． 2.（浙江省超级全能生2020届高三下学期3月联考数学试题（B卷））在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点(包括四条边上的点)，且满足，则四棱锥的体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【题型二】线段中点型轨迹 【典例分析】 1.（2023春·高三课时练习）已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 A． B．或 C． D．或 2.（2023春·高三单元测试）已知每条侧棱长都为6，底面是边长为4的正方形的直四棱柱中，长为4的线段MN的一个端点在棱上运动，点在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与该几何体所围成的几何体中较小的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 中点形轨迹，多可以借助直角三角形斜边中线等于斜边一半，转化为定点定值（空间球）求解 【变式演练】 1.（2022·高三课时练习）如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（    ） A．一条线段 B．一段圆弧 C．一部分球面 D．两条平行线段 2.（2022·全国·高三专题练习）在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（