第14讲 相似三角形-2024年中考数学一轮复习精讲与精练（全国通用）

2024中考数学一轮复习 (全国通用版) 2024中考数学精讲与精练（全国通用版） 第十四讲 相似三角形 考点1：比例的相关概念及性质 1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项． 3．比例的基本性质：=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0） 考点2：黄金分割 黄金分割定义：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比． 考点3：相似三角形的概念、性质及判定方法 1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．判定方法： （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）平行线分线段成比例推论． 考点4：相似多边形的概念及性质 1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2．性质： （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 考点5：位似图形的概念及性质 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．性质： （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．位似图形作图的步骤： （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 考点6：投影的概念及作用 1.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影成为平行投影。平行投影下：物高与影长成比例。 2.中心投影：在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影。 3.平行投影、中心投影的作用：可以借助两种投影结合相似三角形的知识求物体的高度或者距离。 考点7：常见相似模型 1. A字型与8字型 2. 反字型与反8字型 3. 母子相似模型： 4. 一线三等角模型： 5. 燕尾模型： 相似三角形是平面几何中既重要，又比较难学的一部分内容，也是中考数学中难点之一，一般都是压轴题中考查，很多时候会与反比例函数或一次函数、二次函数综合在一起。掌握必要的常见相似模型是非常必要的，这样我们在解决问题时可以快速添加辅助线构造相似模型解决问题。 例题1．（2023·陕西西安·九年级期中）线段，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A．1cm B．2cm C．4cm D．9cm 例题2．（2023上·山西临汾·九年级联考）如图，已知P是笛子AB的黄金分割点，若笛子AB＝2，则BP的长是（） A． B． C． D． 例题3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例题4．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 例题5．（2023·山东淄博·中考真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 例题6．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）． A． B． C． D． 例题7．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 例题8．（2022·山东威海·中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△