素养拓展39 概率与统计的综合问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展39 概率与统计的综合问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 ①超几何分布与统计 ②二项分布与统计 ③正态分布与统计 ④条件概率与统计 一、概率与统计问题 概率与统计是高考数学命题中的必考题, 由于概率与统计中的分析方法与计数有关, 而计数中的分析方法不同于逻辑分析方法, 需要重新建立一种独特的思维模式. 在此过程中, 基础不够牢固的话，遇到思维障碍较多.随机变量的分布列建立在随机变量的取值与取值的概率之上, 把随机变量的取值转化为随机事件, 才容易通过计数方法得到取值的概率. 概率统计问题本质上难在两个方面:一是模型的识别与分析, 要准确把握给定现象或信息中随机变量 所遵循的概率模型; 二是在计算分布列时, 随机变量取值转化为随机事件的概率, 这涉及计数的难点. 二、相关知识点归纳 Ⅰ 频率分布直方图 1.频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 . 2.频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． Ⅱ 独立性检验 （1）定义：利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． （2）公式：，其中为样本容量． （3）独立性检验的具体步骤如下： ①计算随机变量的观测值，查下表确定临界值： 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果，就推断“与有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“与有关系”． Ⅲ 线性回归 线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法． 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． Ⅳ 二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． Ⅴ 超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … Ⅵ 正态分布 1.定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 二、题型精讲精练 【典例1】某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.    (1)求的值，并估计该校学生分数