重难点专题39 齐次化妙解圆锥曲线九大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题39齐次化妙解圆锥曲线九大题型汇总 题型1定点在原点的斜率问题 1 题型2定点在原点转化成斜率问题 2 题型3定点不在原点之齐次化基础运用 3 题型4定点不在原点的斜率问题 5 题型5定点不在原点转化为斜率问题 6 题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用 7 题型7齐次化妙解之等角问题 8 题型8点乘双根法的基础运用 10 题型9点乘双根法在解答题中的运用 12 题型1定点在原点的斜率问题 圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将和代入，得到关于k、b的式子．解法不难，计算量较为复杂． 如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少． “齐次”即次数相等的意思，例如称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为中每一项都是关于x、y的二次项． 如果公共点在原点，不需要平移． 【例题1】直线与抛物线交于，求．（用表示） 【变式1-1】1.直线与椭圆交于，求（用表示）． 【变式1-1】2.抛物线，直线l交抛物线于A、B两点，且，求证：直线l过定点． 【变式1-1】3.不过原点的动直线交椭圆于A、B两点，直线OA、AB、OB的斜率成等比数列，求证：直线l的斜率为定值． 【变式1-1】4.已知直线交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，若，求该直线方程． 【变式1-1】5.设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程． 题型2定点在原点转化成斜率问题 圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。齐次化是常见的代数处理技巧，圆锥曲线中用齐次化的方法解决和斜率相关的定值定点。 齐次化法简化计算适用范围：圆锥曲线中处理斜率之和与斜率之积类型问题。 以圆锥曲线中椭圆为例，先介绍齐次化解题的基本特征与一般步骤： (一)基本特征 1.椭圆上有定点P(xo,yo)和动弦AB; 2.题设或结论中涉及PA,PB的斜率之积或斜率之和等情况.如k₁·k₂,k₁+k₂,,。 (二)解题步骤 1.设直线方程为m(x-xo)+n(y- yo)=1,其中点(xo, yo)为两相关直线的交点(这样设直线方程的形式，右边为1对联立齐次化较为方便); 2.椭圆方程变形为 3.椭圆变形方程与直线方程联立齐次化： 4.由韦达定理得k₁+k₂,k₁·k₂; 5.根据题设进一步求解。 注意：过一定点作两条直线 且两直线间存在斜率关系(显性或隐性)如果你发现题目出现了以上情况那这个题目八成可用齐次化来简化但要注意叙述的严谨性和完整性否则易被老师扣去过程分 【例题2】已知抛物线的方程为，若直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点． 【变式2-1】1. 直线与圆相交于，，且，求的值． 【变式2-1】2.（2021重庆期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：． 【变式2-1】3. （2022连云港期末）已知直线l与抛物线交于A，B两点． (1)若直线l的斜率为-1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长； (2)若点O为坐标原点，且，求证：直线l过定点． 题型3定点不在原点之齐次化基础运用 型怎么采用齐次化运算解决，平移是关键 如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的．注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在等式与同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在等式与的异侧进行的． 例：向上平移1个单位，变为，即， 向上平移1个单位，变为． 设平移后的直线为（为什么这样设？∵这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用），与平移后的圆锥联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以（前面注明x不等于0），得到，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，，，即可得出答案．如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去． 总结解法为：①平移；②联立并齐次化；③同除以；④韦达定理．证明完毕，若过定点，还需要还原． 优点：大大减小计算量，提高准确率！缺点：不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论． 【例题3】抛物线，，直线l交抛物线于A、B两点，，求证：直线l过定点． 【变式3-1】1.椭圆，点，为椭圆上两点，．求证：直线斜率为定值． 【变式3-1】2.双曲线，，A、B为双曲线上两点，且．AB不与x轴垂直，求证：直线AB过定点． 【变式3-1】3.已知椭圆，设直线不经过点的直线交椭圆于，两点，若直线，的斜率之和为，证明：直线恒过定点． 题型4定点不在原点的斜率问题 【例题4】