5.6 几何证明举例 第4课时 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.6 几何证明举例 第4课时 第5章 几何证明初步 1.证明角平分线的性质定理及其逆定理. 2.运用角平分线的性质定理及其逆定理解决其他证明问题. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 任务一：证明角平分线的性质定理及其逆定理. 活动：利用基本事实以及已有的定义和定理，解决下列证明问题. 问题1：证明角平分线的性质:“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的真实性. (1)根据图片，补全上述命题的已知和求证. 已知： 是∠ABC的 ，点P在BD上.PM AB,PN BC,垂足分别是M与N. 求证： = . ⊥ ⊥ BD 平分线 PM PN 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 (2)你同意下面小莹给出的证法吗？请你用“∵”“∴”的格式写出下面的证明过程. 证明：因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD. 又因为PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别是垂足， 所以∠PMB=∠PNB=90°. 在△PMB和△PNB中，BP是公共边， 所以△PMB与△PNB全等（AAS），于是PM=PN. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 证明过程可以用文字语言表述，也可以用符号语言表述. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 问题2：说出角平分线的性质定理的逆命题，通过推理，验证逆命题是否正确： (1)画出逆命题的图形，并结合图形写出已知、求证． (2)思考满足什么条件，命题会成立？试着用文字语言写出证明过程，并与同学交流. (1)已知:如图,点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是M与N，且PM=PN. 求证:点P在∠ABC的平分线上. (2)分析：要证明这个命题成立，只要证明∠MBP = ∠NBP就好. P N M B A C 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 (2)如图，连接MN，由PM=PN可得△PMN是等腰三角形，从而∠PMN =∠PNM. 由∠BMN与∠PMN互余，∠BNM与∠PNM 互余，可得∠BMN =∠BNM . 所以△BMN也是等腰三角形，从而BM = BN. 过点B,P作射线BD，由BP是公共边，根据SSS，△PBM≌△PBN. 由此得到∠MBP = ∠NBP . 因此点P在∠ABC的平分线上. P N M B A C D 性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 任务二：运用角平分线的性质定理及其逆定理解决其他证明问题. 问题1：根据结论内容和图形，写出已知、求证． 问题2：思考满足什么条件，结论会成立？试加以证明，并与同学交流证明思路. 活动：我们曾通过画图发现三角形三条角平分线交于一点，现在请同学们利用已有的知识，证明这个结论. 已知：AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线. 求证：AM，BN，CP交于一点. 分析：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就好. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 证明：如图，设AM,BN交于点O.过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D,E,F. ∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知）， ∴OE = OF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， 同理，OD = OF，∴OD = OE（等量代换）. ∵CP是∠ACB的平分线（已知）， ∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 因此，AM，BN，CP交于一点 三角形三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等. D E F O 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 1.如图,D为∠ABC的平分线上一点,P为平分线上异于D的一点,PA⊥BA,PC⊥BC, 垂足分别为点A,C,则下列结论错误的是( ) A.AD=CD　　 B.∠DAP=∠DCP C.PD=BD D.∠ADB=∠BDC C 活动探究 课堂总结 当堂检测 学习目标 2.如图，△ABC的三条角平分线交于点O，设这一点到其中一边的距离为m, 三边长分别为a、b、c. (1)三角形的周长为C= . (2)三角形的面积S= . a+b+c 解：S△ABC= am+ bm+ cm = m(a+b+c) ∵△ABC的周长C=a+b+c， ∴S△ABC= mC. mC 活动探究 课堂总结 当堂检测 学习目标 3.已知，如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.