第04讲 三角形内角和定理（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第04讲 三角形内角和定理（重难点） 【知识点一、三角形的内角和】 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【知识点二、三角形的外角】 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 说明：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 题型一 三角形内角和定理的证明 例1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ） A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【变式训练1-1】、定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：． 证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 【变式训练1-2】、某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A． 过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 例2．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，若，，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、如图，，，垂足为E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．是的角平分线，是边上的高，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【变式训练3-1】、如图，在中，，分别为，的角平分线，，则（    ） A．120° B．125° C．130° D．140° 【变式训练3-2】、如图，和分别是的角平分线和高线．若，，，则用和表示的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四 三角形折叠中的角度问题 例4．如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】、如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、如图所示，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置．则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型五 三角形内角和定理的应用 例5．如图，中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】、如图，当时，该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式训练5-2】、在中，，则此三角形是(    ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形内角和定理（重难点） 【知识点一、三角形的内角和】 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；