第01讲 为什么要证明、定义与命题（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第01讲 为什么要证明、定义与命题（重难点） 【知识点一、定义与命题】 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 说明：（1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 说明：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 【知识点二、证明的必要性】 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 【知识点三、公理与定理】 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 说明：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 说明：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 题型一 写出一个命题已知、求证及证明过程 例1．求证：等腰三角形两腰上的高相等． (1)画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证． (2)给出证明． 【变式训练1-1】、卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 【变式训练1-2】、如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制年，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程 已知：如图2，点，，，在同一平面内，___________，_____________． 求证：_________________． 题型二 已知证明过程填写理论依据 例2．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 题型三 判断是否是命题 例3．下列语句中，是命题的个数为（    ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练3-1】、下列语句：①周长相等的两个三角形全等；②同位角相等；③作的平分线；④垂线段最短，其中命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3-2】、下列句子：①负数没有相反数；②是分式；③过点作直线的平行线；④两个单项式的和一定是多项式．其中，命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 判断命题真假 例4．下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．三个角分别相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【变式训练4-1】、下列假命题的个数是（    ） ①垂直于同一条直线的两条直线可能相交； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③立方根等于本身的数有三个是、0和1； ④实数与数轴上的点一一对应； ⑤两个无理数的和一定是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练4-2】、下列命题中，①对顶角相等，②邻补角互补，③同位角相等，④过一点有且只有一条直线垂直于一条已知直线，⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线．其中是真命题的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 逆命题与互逆命题 例5．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【变式训练5-1】、“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【变式训练5-2】、“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题