2024届高三数学二轮复习培优练12：非对称韦达定理

培优练12 非对称韦达定理 一、基本技能练 1.(2023·南通模拟)如图，椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q. (1)当|CD|＝时，求直线l的方程； (2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值. 2.(2023·梅州二模)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2，且双曲线E经过点A(，2). (1)求双曲线E的方程； (2)过点P(2，1)作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足＝，求证：点H恒在一条定直线上. 3.在平面直角坐标系xOy中，已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值. 二、创新拓展练 4.(2023·绍兴适考)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2到C的一条渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)过C的左顶点且不与x轴重合的直线交C的右支于点B，交直线x＝于点P，过F1作PF2的平行线，交直线BF2于点Q，证明：Q在定圆上. 参考答案 1.(1)解　由已知可得椭圆方程为＋x2＝1， 设l的方程为y－1＝k(x－0)，k为l的斜率，C(x1，y1)，D(x2，y2). 则由得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0， 可得 所以|CD|＝· ＝＝， 整理得，k2＝2，所以k＝±， ∴l的方程为y＝±x＋1. (2)证明　由题可得，P， 直线AC的方程为y＝(x＋1)， 直线BD的方程为y＝(x－1)， 由 可得＝＝ ＝，(*) 由x1＋x2＝－，x1x2＝， 得x1＝－－x2，代入(*)式可得， ＝＝， 可得x＝－k，即xQ＝－k， 所以·＝－·(－k)＋0·yQ＝1(定值). 故·为定值. 2.(1)解　因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝， 由双曲线的定义可得 2a＝||AF1|－|AF2||＝ ＝4－2＝2， 所以a＝1，则b＝＝＝， 因此，双曲线E的方程为x2－＝1. (2)证明　设点H(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 可得 设＝＝λ， 则其中λ≠1， 即 整理可得 所以x－λ2x＝2(1－λ2)x，y－λ2y＝(1－λ2)y， 将 代入y－λ2y＝(1－λ2)y， 可得2[x－λ2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y， 将x－λ2x＝2(1－λ2)x， 代入2[x－λ2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y， 可得2[(1－λ2)2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y， 即4x－y－2＝0， 所以点H恒在直线4x－y－2＝0上. 3.解　(1)设椭圆C的半焦距为c， 依题意＝，① 又△ABM的面积最大值为2， 所以·2a·b＝2，即ab＝2，② 又a2－b2＝c2，③ 联立①②③，得a2＝4，b2＝3，c2＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程组 整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 所以y1＋y2＝－， y1y2＝－， 故my1y2＝(y1＋y2). 易得直线AM：y＝(x＋2)与直线x＝t相交于T， 因为k1，k0，k2成等差数列， 所以2k0＝k1＋k2， 即2·＝＋， 所以－1＝ ＝＝ ＝＝＝3， 进而解得t＝4， 所以实数t的值为4. 4.(1)解　根据题意可知C的一条渐近线方程为y＝x＝x， 设F2(c，0)(c>0)，F2到渐近线y＝x的距离为d＝＝， 所以c＝2，c2＝4＝a2＋3a2，a2＝1， 所以C的方程为x2－＝1. (2)证明　设C的左顶点为A，则A(－1，0)， 故直线x＝为线段AF2的垂直平分线. 所以可设PA，PF2的斜率分别为k，－k，故直线AP的方程为y＝k(x＋1). 与C的方程联立得 (3－k2)x2－2k2x－k2－3＝0， 设B(x1，y1)， 则－1＋x1＝， 即x1＝， 所以B. 当BF2⊥x轴时，|BF2|＝|AF2|＝3，△AF2B是等腰直角三角形，且易知∠PF2A＝∠BF2P＝； 当BF2不垂直于x轴时，直线BF2的斜率为，故tan∠BF2A＝. 因为tan∠PF2A＝－k， 所以tan2∠PF2A＝＝tan∠BF2A， 所以∠BF2A＝2∠PF2A，∠PF2A＝∠BF2P. 因为QF1∥PF2， 所以∠F2F1Q＝∠PF2A＝∠BF2P＝∠F1QF2， 所以|QF2