重庆外国语学校(川外附中)2024届高三上学期12月月考数学试题

重庆市九龙坡区重庆外国语学校2024届 高三上学期12月月考数学试题 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：，， A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 5.已知，，则（ ） A. B. C. D. 6.在数列中，，，，则的前20项和（ ） A.621 B.622 C.1133 D.1134 7.已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线与平行时，（ ） A. B. C. D.4 8.已知函数，若方程有4个不同实根，，，（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.下列说法正确的是（ ） A.若，，，则的最大值为4 B.，，，则的最小值是4 C.当时，有最大值 D.的最小值为 10.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于点对称 C.函数的图象可由的图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到 D.函数的图象可由的图象上所有点向左平移个单位得到 11.如图所示，正方体的棱长为2，，则（ ） A.的最小值为 B.存在一点，使得与平面所成角为 C.存在一点，使得与所成的角为 D.当时，三棱锥的外接球的表面积为 12.已知当时，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为__________. 14.杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备__________种不同的素菜. 15.函数为奇函数，且，若，则__________. 16.函数的极小值为__________. 四、解答题 17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）已知，，边上有一点满足，求. 18.在数列中，，. （1）证明：数列为常数列. （2）若，求数列的前项和. 19.长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题： （1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率. 20.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，平面平面，E为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点. （1）记平面交于点，求证：平面； （2）是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 21.已知点为椭圆内一点，过点的直线与交于A，B两点.当直线经过的右焦点时，点恰好为线段的中点. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线经椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.设从椭圆的左焦点出发的一束光线经过点，被直线反射，反射后的光线经过椭圆二次反射后恰好经过点，由此形成的三角形称之为“光线三角形”.求此时直线的方程，并计算“光线三角形”的周长. 22.已知函数. （1）求的最值； （2）若方程