精品解析：上海市松江二中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

松江二中2023学年第一学期12月学情调研 高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数满足，则_____________． 2. 已知分别是平面法向量，且，则__________. 3. 如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于__________. 4. 若投掷3枚硬币，则恰有二枚正面朝上的概率为________ 5. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面面积与球的一个大圆面积之比为________． 6. 中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是______. 7. 已知数列前项和为，且满足，则________． 8. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为______. 9. 某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了个盲盒，则他能集齐个不同动漫角色的概率是______________. 10. 在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为______. 11. 已知棱长为的正方体中， 为侧面中心，在棱上运动， 正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为______． 12. 在三棱锥中，，，二面角是钝角.若三棱锥的体积为2．则三棱锥的外接球的表面积是___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若为平面，有下列命题，其中真命题的是（ ） A. 若直线平行于平面内无数条直线，则 B. 若直线在平面外，则平面 C. 若直线，直线平面，则平面 D. 若直线平面，则平行于平面内无数条直线 14. 已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是． A. 圆锥的高等于圆柱高的； B. 圆锥的高等于圆柱高的； C. 将容器一条母线贴地，水面也恰过点； D. 将容器任意摆放，当水面静止时都过点． 16. 已知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义，给出下列结论：①；②对任意事件A，；③如果，那么；④.其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 直四棱柱，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若四棱柱的体积为36，求二面角的大小. 18. 设（其中，，1，2，3，…，29）． （1）求的值； （2）求何值时，取得最大值． 19. 女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛. （1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率； （2）若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率. 20. 如图，已知四面体中，平面，. （1）求证：； （2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度； （3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小. 21. 已知函数，，满足：①对任意，都有；②对任意都有. （1）试证明：为上的严格增函数； （2）求； （3）令，，试证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江二中2023学年第一学期12月学情调研 高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数满足，则_____________． 【答案