精品解析：湖北省武昌实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

湖北省武昌实验中学高二年级12月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 15 B. 1 C. D. 3. 设椭圆C：的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知O为坐标原点，F为双曲线的左焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足，且，则双曲线的离心率为　　 A. B. C. D. 5. 对于集合，定义，且．若，，将集合中元素从小到大排列得到数列，则（ ） A. 55 B. 76 C. 110 D. 113 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列满足：，记，，则数列的前项和是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，则双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线的方程为（），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. “”是“曲线表示焦点在y轴上的双曲线”的充分必要条件 C. 存在实数，使得曲线的离心率为 D. 存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线 11. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则，； B. 若，则使的最大的n为15； C. 若，，则中最大； D. 若，则. 12. 已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ） A 对于任意直线m，均有AE⊥PF B. 不存在直线m，满足 C. 对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D. 存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF| 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升． 14. 若双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________. 15. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（A在轴上方），延长交抛物线的准线于点C，若，则抛物线的方程为_____. 16. 已知圆锥曲线的方程：.当m、n为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点、满足，写出满足题意的所有有序实数对：_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 数列中，，， （1）求数列通项公式及前项和； （2）求数列的前项和． 18. 已知点，圆C：. （1）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程； （2）设直线与圆C交于A，B两点，过点直线垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 19. 设各项均为正数的数列满足（为常数），其中为数列的前n项和. （1）若，求证：是等差数列； （2）若，求数列的通项公式. 20. 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B． (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； (2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值． 21. 如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点. ①求证：不可能是钝角； ②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由. 22. 已知椭圆的右焦点的坐标为，离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点、为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足，为的中点