平面向量及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

第六章、平面向量 1．向量的有关概念 (1)向量：既有 大小又有方向 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 模 (2)零向量：长度等于零的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1个单位长度 的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律：a+b=b+a （2）结合律： （a+b）+ c=a +（b+c） 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 a-b = a+(-b) 数乘 求实数与向量a的积的运算，记作a (1)； (2)当>0时，a的方向与a的方向相同； 当<0时，a的方向与a的方向相反； 当=0时，a=0 ★; 【例1】（1）+-=( ) A． B． C． D． 【解析】根据向量加法运算得+=，根据向量减法得. 故选D. （2）如图所示，M是边的中点，若=，，则=（ ） A． B． C． D． 【解析】分析：利用向量的加分和减法运算可得 = 故选：C． 【变式探究1】 （1） 向量化简后得______________ （2） D是边上的中点，记，，则向量=（ ） A． B． C． D． （3）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点， BE与AC的交点为F，设=a，=b 则向量=（ ） A． B． C． D． 3．向量坐标运算 （1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝， （2）设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝；a－b＝； ab=； λa＝； |a|＝ ； 【例2】若向量(2，0)，=(1，1），则=（ ） A．（3,1） B．（4,2） C．（5,3） D．（4,3） 【解析】根据向量加减法的坐标运算得，, 则，所以，故选B. 【变式探究2】 （1）已知平面向量=(1,2)，=(3,4)，则向量的模是（ ） A． B． C． D． 5 （2）已知，则点D的坐标是（ ） A．(11,-3) B．(9,-3) C．(9,3) D．(4,0) 4．平面向量基本定理 a＝λ1e1＋λ2e2（向量e1，e2不共线） 【例3】如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．-3 【解析】因为E是DC的中点，所以=(+)，∴=－+, ∴=－1，=2， －=－1－2=－3. 【变式探究3】 （1）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ等于( ) A． B． C． D．－ （2）如图，在直角梯形ABCD中，AB = 2AD = 2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则= ( ) A、 B、 C 、 D、 （3）在△ABC中，E为BC边上的点，且，F为线段AE的中点，则= ( ) A、 B、 C、 D、 5．向量平行或共线 有坐标： 无坐标： 【例4】已知向量，且（），则m=（ ） A． B．- C．2 D．-2 【解析】由已知，根据向量坐标表示，及其加减运算公式、平行关系，得=(6,m-1)， 又∥（），所以4（m-1）+6=0，解之得m=． 故选B． 【变式探究4】 （1）已知平面向量a=（2，-1），b=（1，1），c=（-5，1），若(a+kb)∥c，则实数k的值为（ ） A．2 B． C． D．－ （2）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A． =（0，0），=（1,2） B． =（2，－3），=（，－） C． =（3，5），=（6，10） D．=（－1，2），=（5,7） （3）已知两向量,不共线，若k+与+k共线,则k= （4）已知两向量,不共线， a＝2+4, b＝-,若a与b共线，则实数= 6．数量积 有坐标： 无坐标： 7．求夹角（夹角公式） cos θ＝