数列求和及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

5.4 数列求和 1、分组求和法 【例1】已知等差数列满足=3，=15, 数列满足=4，=31, 设正项等比数列满足． （1） 求数列和的通项公式; （2） 求数列的前n项和. 【解析】设等差数列的公差为d，依题意得 所以 设等比数列的公比为q，依题意得 从而． （2） 因为, 所以数列的前项和为 （3+1）+（6+21）+（9+22）+…+（3n+2n-1）=（3+6+9+…+3n）+（1+2+22+…+2n-1）== 【变式探究1】 1、已知等差数列满足：=5，=26，数列的前n项和为． （1）求及； （2）设cn=an - bn，且是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和． 2、已知数列{an}的前n项和，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前2n项和T2n 2、裂项相消法 【例2】已知为等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意得，解得， 则.故数列的通项公式为. （2）由（1）得， ，故. 【变式探究2】 1、已知等比数列满足a1=，a3a5=4(a4-1). (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足bn=log2(16·an)，求证:数列的前n项和Sn<. 2、已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 3、错位相减法 【例3】已知公比为整数的正项等比数列满足：，a2=9 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 【解析】（1）设等比数列的公比为q，由a2=9可得a1q=9，两式相除可得：3q2-8q-3=0 ,由q>0，且q为整数，可解的q=3， 所以.故数列的通项公式为. （2）由，得， 则， 两式作差有：， 所以， 故． 【变式探究3】 1、已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，且成等比数列． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 2、在等差数列中，已知， （1）求数列的通项公式； （2）若________，求数列的前项和． 在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并 对其求解．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 5.4 数列求和 一、分组求和法 1．设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求. 2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2,2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝a1，nbn＋1＝anbn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn. 3、设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝2－2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)nlogan，求数列{bn}的前n项和Tn. 4．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 二、裂项相消法 1、Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． 2．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960. (1)求an与bn； (2)求和：＋＋＋…＋. 3、已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ·2n－2(λ≠0)． (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝2log2an，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 4、已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n，n∈N*. (1)证明：{an－n}为等比数列； (2)数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 5．已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn. 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a2＝3，S5＝25. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<1. 三、错位相减法 1．设是公比不为1的等比数列，a