数列通项公式求法及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

5.3 数列通项公式的求法 （一）已知，求an 若数列{ an }的前n项和为Sn， 则an＝ 【例1】设数列的前项和为，已知 求数列的通项公式． 【解析】由 可得：当时， ， 当时， 而 ，所以 【变式探究1】 （1）设数列的前n项和Sn=， 求an （2）设数列的前n项和 ，求an （二）对无穷递推数列 【例2】设数列满足.求的通项公式． 【解析】a1+3a2+…+(2n-1)an=2n n⩾2时，a1+3a2+…+(2n−3)an−1=2(n−1). ∴(2n−1)an=2. ∴an=. 当n=1时，a1=2，上式也成立 ∴an=. 【变式探究2】 已知数列满足， ，，求． （三）递推公式中既有，又有 【例3】（1）若为数列的前n项和，且，则S8等于( 　 ) A． 255 B． 256 C． 510 D． 511 【解析】当n=1时，，据此可得：， 当n≥2时：，， 两式作差可得：，则：， 据此可得数列是首项为2，公比为2的等比数列， 其前8项和为：.本题选择C选项. （2）已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式． 【解析】∵对任意有 ① ∴当n=1时，，解得或 当n≥2时， ② ①—②整理得： ∵各项均为正数，∴ 当时，，此时成立 ， 当时，，此时不成立，故舍去，所以 【变式探究3】 （1）已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. （2）已知数列中, 且,求数列的通项公式． （四）累加法：型数列，（其中不是常值函数) 【例4】已知数列满足，求数列的通项公式． 【解析】 所以数列的通项公式为. 【变式探究4】 数列满足，且（），则数列的前10项和为 （五）累乘法：型数列，（其中不是常值函数) 【例5】已知数列满足，求的通项公式． 【解析】由条件知 ，在上式中分别令，得个等式累乘之， 即 ， 即 又 【变式探究5】 已知数列中，=1，（n，则数列的通项公式为（ 　 ） A． B． C． D． （六）型数列（A，B，C为非零常数） 这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。 【例6】已知数列满足，求数列的通项公式. 【解析】求倒数得为等差数列，首项，公差为， 【变式探究6】由a1＝1，给出的数列{an}的第34项是(　　) A． B． 100 C． D． （七）型数列 此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解 【例7】已知数列满足，求的通项公式. 【解析】由 得 又 所以是首项为，公比为的等比数列 所以 因此数列的通项公式为. 【变式探究7】已知数列中，，求数列的通项公式. 习题： 5.3 数列通项公式 1．已知数列{an}满足，则S3＝________． 2、记为数列的前项和，若，则___________． 3、设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= . 4、设是数列的前n项和，且，，则________． 5、数列满足，且（），则数列的前10项和为_______． 6．若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______. 7、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________. 8、已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 9、已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝________. 10、已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则数列{an}的通项公式an＝________. 11.已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝2n2－3，则数列{an}的通项公式an＝________. 12、已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝______. 13．在数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则a6等于(　　) (A)13 (B) (C)11 (D) 14、若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2018的值为(　　) (A)2