等比数列及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

5.2 等比数列 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)． 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn-1； 通项公式的推广：an＝amqn-m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 【例1】（1）在等比数列{an}中,a3=4, a6=,则公比q= (　　) A. 　B. 　C.2 　　D.-2 【解析】由题意得,,则q=,故选A. （2）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6=(　　) A.16 B.32 C.64 D.128 【解析】设等比数列{an}的公比为q(q>0),由S3=14,a3=8,得可得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C. 【变式探究1】 （1）在等比数列中，则 （2）在数列中，对任意，都有，则等于 （3）已知等比数列的公比q=－,则= （4）已知{an}是递增等比数列，＝2，－＝4，则此数列的公比q＝________ （5）已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　 ) A．2　 B．4 C. D． （6）若等比数列满足，则公比q＝_____；前n项和Sn＝_______ （7）设等比数列{}的前n项和为，若，则=________ （8）设等比数列{an}的前n项和为 Sn ，若 ＝2，S4 =5S2 ，则 =________ （9）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝＋10，＝9，则a1＝(　　) A．　　 B．－ C． D．－ （10）设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3＋2，S4＝3＋2，则q＝________ 3．等比中项 (1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab. (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an． 【例2】（1）已知数列{an}为等比数列,且a3=-4 , a7=-16 ,则a5= (　　) A.8 B.-8 C.64 D.-64 【解析】设等比数列{an}的公比为q，数列{an}为等比数列,且a3=-4,a7=-16,∴=a3·a7=(-4)×(-16)=64,又a5=a3q2=-4q2<0, ∴a5=-8.故选B. （2）等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________. 【解析】a3a5＝a2a6＝64，因为a3＋a5＝20，所以a3和a5为方程x2－20x＋64＝0的两根，因为an>0，q>1，所以a3<a5，所以a5＝16，a3＝4，所以q＝＝＝2，所以a1＝＝＝1，所以S5＝＝31. 【变式探究2】 （1）已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为(　　) A．3 B．－3 C．－ D． （2）已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列， 且b7＝a7，则b3b11等于(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 （3）在等比数列{an}中，已知＝243，则的值为(　　) A．3 B．9 C．27 D．81 （4）公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 （5）在各项都为正数的等比数列{an}中，若，则 （6）在等比数列{an}中，＞0，=25，则的值为________ （7）等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3+a5=20，a2a6＝64，则公比q＝________ （8）已知单调递增的等比数列{an}中，＝16，＝10，则数列{}的前n项和Sn＝(　　) A．2n-2－ B．2n-1－ C．2n－1 D．2n+1－2 4、等差与等比数列的混