等差数列及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

第五章、数列 5.1 等差数列 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 【例1】（1）在等差数列中，若，，则_____________． 【解析】根据等差数列的性质可知，所以，所以公差，所以． （2）设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________． 【解析】设等差数列的首项为，公差为d 由已知得，解得， （3）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝( 　 ) A．28 B．21 C．14 D．7 【解析】由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝. 故选D. 【变式探究1】 （1）在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　　) A．－12 　B．－13 　C．12 　D．13 （2）已知等差数列的前项和为,且,则（ 　 ） A． B． C． D． （3）在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 （4）在等差数列{an}中，若a7＋a9＝20 ，a4=2则an= （5）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24，S6=48,则{an}的公差为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 （6）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 B．99 C．98 D．97 （7）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　) A．2 B．10 C. D. （8）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200， 则a10＋a11的值为(　　) A．20 B．40 C．60 D．80 3．等差中项 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． 【例2】 （1）在等差数列中，和是方程的两根，则________． 【解析】因为是方程的两根，所以，由等差数列的性质可得. （2）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知，则＝________． 【解析】＝． 【变式探究2】 （1）在等差数列 中，已知， ，则( ) A．30 B．27 C．24 D．21 （2）等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是( ) A．14 B．15 C．16 　D．17 （3）在等差数列中，已知，，则的值为( ) A．30 B．27 C．24 D．21 （4）等差数列中，若，则 　　 （5）等差数列中，若，则 　　 （6）等差数列中，已知，则__________ （7） 若等差数列的前项和分别为Sn，Tn，若对任意的整数n都有 的值为 . （8）等差数列的前n项和为，已知，,则（ ） A.38 B.20 C.10 D.9 4．等差数列的前n项和的最值 ★在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0， d＞0，则Sn存在最小值． 【例3】已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n值是________． 【解析】a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35