2024届高三数学二轮复习培优练11：圆锥曲线中的二级结论

培优练11 圆锥曲线中的二级结论 一、基本技能练 1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　) A. B. C. D. 2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.3 3.A，B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 4.已知椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Г相交于A，B两点，且＝3，则k＝(　　) A.1 B.2 C. D. 5.(2023·合肥质检)抛物线E：y2＝4x的焦点为F，曲线l：y＝|x－1|交抛物线E于A，B两点，则△ABF的面积为(　　) A.4 B.6 C.3 D.8 6.(2023·石家庄质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，离心率为2，点P在C上.若直线A1P，A2P的斜率之和为，△PF1F2的面积为，则a＝(　　) A.1 B. C. D.2 7.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________. 8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________. 二、创新拓展练 9.(多选)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　) A.若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－ B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2 C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是 D.若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 10.(2023·武汉模拟)如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________. 参考答案 1.D　[抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝， 故S△OAB＝＝＝.] 2.A　[如图， ∵·＝0， ∴BA⊥BP，令kAB＝k， ∵∠ADO＝∠AOD， ∴kAP＝－kAB＝－k， 又BA⊥BP， ∴kPB＝－， 依题意知kPB·kPA＝， ∴－·(－k)＝， ∴＝1，即e＝.] 3.D　[椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－， ∴－＝－，∴＝， ∴椭圆的离心率e＝＝＝.] 4.D　[依题意a＝2b，e＝＝， 设＝λ，因为＝3， 所以λ＝3，设直线的倾斜角为α， 则e＝ 得＝，|cos α|＝， 又k>0，∴α∈， 得cos α＝，所以k＝tan α＝.] 5.D　[作出图形如图所示， 曲线l：y＝|x－1|关于直线x＝1对称，且曲线l过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)， 设直线FA的倾斜角为θ，即∠AFx＝θ， 所以∠OFB＝θ， 所以直线FB的倾斜角为π－θ， 由题意可知，tan θ＝， 则|AF|＝＝， |BF|＝＝. 又∠AFB＝π－2θ， 所以S△ABF＝|AF|·|BF|·sin(π－2θ)＝××sin 2θ＝＝＝＝＝8，故选D.] 6.A　[由双曲线C的离心率 e＝＝2，c2＝a2＋b2， 得c＝2a，3a2＝b2， 又S△PF1F2＝×2c|yP|＝， 所以|yP|＝＝， 则|xP|＝， 因为kA1P＋kA2P＝>0，① 所以结合双曲线(如图)知点P在第一象限或第三象限，不妨设点P在第一象限， 则P. 而kA1P·kA2P＝e2－1＝3，② 联立①②并解得kA1P＝，kA2P＝， 所以kA1P＝＝，解得a＝1.] 7.y2＝2x　[∵|AB|＝＝＝8p＝8， ∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.] 8.　[如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′， 因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)， 所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝θ＝， 根据双曲线焦点三角形面积公式， 得S△AF′F＝. 所以2a2＝b2，即＝2，e＝＝.] 9.BD　[设P(