清单07 三角函数（23个考点梳理+题型解读+提升训练）-2023-2024学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单07 三角函数（23个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识导图】 【考点分布图】 【知识清单】 1、任意角 （1）角的概念 （2）正角、负角、零角 （3）象限角 （4）终边相同的角 2、弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 ． 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③． 3、三角函数的概念 （1）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ，（）． 设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为． 可以证明：；；． （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等． ， ， ， 其中． 4、同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 ． （2）商数关系 ． 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式． 5、诱导公式 （1） 公式二 ， ， ． （2）公式三 ， ， ． （3）公式四 ， ， ． 小结： （1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． （2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： （4） 公式五 ， ． （5）公式六 ， ． 小结： ，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． 6、正弦函数、余弦函数的图象 （1）正弦函数的图象． ①画点 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． ②画（）的图象 把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象． ③（）的图象 由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线． ④五点作图法 在函数，的图象上，有以下五个关键点： ，，，，． 画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”． （2）余弦函数的图象 因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象． 余弦函数，的图象叫做余弦曲线． 余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，． 7、正弦函数、余弦函数的性质 （1）周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． （2）奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． （3）单调性 正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． 余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 8、正切函数的图象 正切函数的图象叫做正切曲线． 9、正切函数的性质 （1）定义域 正切函数的定义域为 （2）周期性 正切函数是周期函数，最小正周期是． （3）奇偶性 正切函数是奇函数． （4）单调性 正切函数在每一个开区间（）上都单调递增． （5）值域 正切函数的值域是实数集． 10、用五点法作函数的图象