重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

荣昌中学高2025级高二上期第二次月考数学试题 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．135° D．150° 2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 3．在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则( ) A. B. C. D.. 4．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为( ) A． B． C． D． 5．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于、两点，是坐标原点．若，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 6．已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为( ) A．4 B．6 C．8 D．12 7．设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为( ) A． B．2 C．3 D．4 8．双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为( ) A． B． C． D． 2、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是( ) A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 10．已知直线：，圆：，则( ) A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．圆被轴截得的弦长为 D．当圆被直线截得的弦最短时， 11．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．为中点 12. 已知正方体的棱长为，点满足,其中，为棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 若平面，则点的轨迹的长度为 B. 当时，的面积为定值 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，存在点使得平面 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则点P 到坐标原点O的距离_________. 14.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为_________. 15.已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，.若，则_1_____. 16．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点满足，若，则双曲线的离心率为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (1) 求AB的中垂线方程； (2)求AC的直线方程. (2)求线段PQ的中点N的轨迹方程. 20.(12分)如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 21. (12分)已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程． 22.(12分)已知E，F分别是椭圆C：的左顶点与左焦点，P，Q是C上关于原点O对称的两点， (1)求C的方程； (2)已知过点的直线交C于A，B两点，M，N是直线上关于轴对称的两点，证明：直线MA，BN的交点在一条定直线上. ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌中学高2025级高二上期第二次月考数学参考答案 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为( C ) A．30° B．45°