江苏省南京市第一中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

南京一中2023-2024学年第一学期12月阶段性检测试卷 高三数学 2023.12 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|2x≤x2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝ A．{x|x≥2} B．{x|x＞1} C．{x|x≤0或x＞1} D．{x|x≤0或x≥2} 【答案】C 【解析】因为A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|x＞1}，所以A∪B＝{x|x≤0或x＞1}．故选C． 2．在空间中，直线l//平面α的一个充要条件是 A．α内有一条直线与l平行 B．α内有无数条直线与l平行 C．任意一条与α垂直的直线都垂直于l D．存在一个与α平行的平面经过l 【答案】D 【解析】对于A，B，C，直线l都可能在α内，故选D． 3．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出图形易知，a与a＋b的夹角为，故选A． 4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(mod m)．若a＝C·2＋C·22＋…＋C·218，a＝b(mod 10)，则b的值可以是 A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】A 【解析】因为a＝(1＋2)18－C＝318－1＝99－1＝(10－1)9－1＝C109－C108＋…＋C101－C－1， 所以a被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8，故选A． 5．已知f(x)＝sin(ωx－φ)(ω＞0，0＜φ＜π)满足f(－x)＝f(x)，且当f(x1)－f(x2)＝2时，|x1－x2|min＝，则 A．f(x)在(－，)上单调递减 B．f(x)在(－，)上单调递增 C．f(x)在(，π)上单调递减 D．f(x)在(，π)上单调递增 【答案】C 【解析】因为f(x)＝sin(ωx－φ)(ω＞0，0＜φ＜π)满足f(－x)＝f(x)， 即f(x)为偶函数，所以φ＝，则f(x)＝sin(ωx－)＝－cosωx． 因为当f(x1)－f(x2)＝2时，|x1－x2|min＝，所以＝，所以ω＝2，则f(x)＝－cos2x． 结合图象易知，f(x)在(，π)上单调递减．故选C． 6．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝lg，bn＝[Sn]， 则数列{bn}的前1000项和为 A．1890 B．1891 C．1893 D．1896 【答案】D 【解析】因为an＝lg＝lg(n＋1)－lgn， 所以Sn＝(lg2－lg1)＋(lg3－lg2)＋…＋[lg(n＋1)－lgn]＝lg(n＋1)． 当1≤n≤8时，0＜lg(n＋1)＜1，则[S1]＝[S2]＝…＝[S8]＝0； 当9≤n≤98时，1≤lg(n＋1)＜2，则[S9]＝[S10]＝…＝[S98]＝1； 当99≤n≤998时，2≤lg(n＋1)＜3，则[S99]＝[S100]＝…＝[S998]＝2； 当999≤n≤9998时，3≤lg(n＋1)＜4，则[S999]＝[S1000]＝3． 所以[S1]＋[S2]＋…＋[S1000]＝0×8＋1×90＋2×900＋3×2＝1896，故选D． 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上下焦点分别为F1(0，c)，F2(0，－c)，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若直线PF2与圆E：x2＋(y＋)2＝相切，则双曲线的渐近线方程是 A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 【答案】B 【解析】设直线PF2与圆E：(x－)2＋y2＝相切于点M． 因为以F1F2为直径的圆过点P，所以PF1⊥PF2， 又圆E与直线PF2的切点为M，所以EM⊥PF2，从而EM//PF1． 由△F2EM∽△F2F1P，得＝，所以PF1＝＝＝b． 又PF2＝PF1＋2a＝b＋2a，所以b2＋(b＋2a)2＝4c2，解得b＝2a， 因此渐近线的方程为y＝±x，故选B． 8．已知直线y＝ax＋2(a＞0)与曲线f(x)＝e2x＋b相切，则曲线f(x)在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的