北京市丰台区怡海中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

怡海中学2023-2024学年度第一学期高二年级12月月考数学试卷 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 考试时间：120分钟 考试分值：150分 第I卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．4 C． D． 3．设向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 6．若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 9．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 10．已知是双曲线的右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D． 第II卷（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知点，，那么两点之间的距离等于 . 12．点到双曲线的一条渐近线的距离为 . 13．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 14．已知点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值为 ；点，则的最小值为 . 15．设数列前项和为，满足，且，，则下列命题正确的是 . ①；②数列为等差数列；③当时，有最大值 ④设，则当或时，数列的前项和取最大值 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（满分13分）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． (1)当时，求； (2)已知点，求的中点的轨迹方程． 17．（满分14分）如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点，    (1)求证：MN平面PAD； (2)求PD与平面PMC所成角的正弦值. 18．（满分14分）已知数列是等差数列，是的前n项和，，______． 从①，②中任选一个，补充在上面的问题中并作答． (1)判断2022是否是数列中的项，并说明理由； (2)求的最小值． 19．（满分14分）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长. 20．（满分15分）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 21．（满分15分）已知椭圆：的右焦点在直线上，分别为的左、右顶点，且. (1)求的标准方程； (2)已知，是否存在过点的直线交于，两点，使得直线，的斜率之和等于-1?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 怡海中学2023-2024学年度第一学期高二年级12月月考数学解析 1．【详解】抛物线的焦点在x轴的正半轴上，准线方程为.故选：C 2．【详解】由点，，根据斜率公式，可得．故选：A. 3．【详解】，即，解得．故选：C 4．【详解】等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立； 若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立. 故选：A. 5．【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为2， 则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交， 故将和相减得， 即圆与圆的公共弦所在直线方程为， 令，则；令，则， 故与两坐标轴所围城的三角形面积为，故选：C 6．【详解】因为l经过第二、三、四象限，所以，， 所以，故位于第二象限.故选：B 7．【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为，故选：B 8．【详解】因为数列为等差数列，所以，所以， 所以．故选：D． 9．【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即.故选：C 10．【详解】易知是直角三角形，双曲线的渐近线方程为，设， 由可知， 所以.故选：A 11．【详解】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3. 故答案为：3. 12．【详解】由已知可得，，， 双曲线的渐近线方程为. 所以，点到，即的距离.