上海市市北中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

市北中学2023-2024学年第一学期高三年级数学阶段测试卷 2023.12.14 (本试卷共21道试题,满分150分,考试时间120分钟) 注意: 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合,,若,则_ _. 2.已知,,且,是虚数单位,则_ . 3.已知两个正数,的几何平均值为1,则的最小值为_ . 4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是 面积为8的正方形,则该圆柱的侧面积为_ _. 5.设圆与双曲线的渐近线相切,则该双曲线的渐近线方程为 . 6. 的内角,,的对边分别为,,,若的面积为, 则 . 7.已知函数的图像如图所示,则不等式的 解集是_. 8.已知向量,且,的夹角为,,则在方向上的投影向量等于_. 9.已知数列满足,若满足且对任意,都有,则实数的取值范围是_. 10. 若,其中,则的最小值为_. 11.已知非零平面向量不平行,且满足,记,则当与的夹角最大时,的值为 . 12.已知为上的奇函数,且当时,,则的驻点为 . 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 18 分,第 13-14 题每题 4 分,第 15-16 题每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.“”是“直线与直线垂直”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件;C.充要条件 D.既非充分也非必要条件. 14.下列函数中,以为周期且在区间上是严格增函数的是 ( ) A. B. C. D.. 15.在空间中,下列命题为真命题的是( ). A.若两条直线垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行; B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线,则这两个平面互相垂直; C.若两个平面垂直,则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直; D.若一条直线平行于一个平面,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直. 16.设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,给出下列两个命题: ①若对任意的正整数均有,则为和谐数列; ②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值; 下列说法正确的是( ). (A)① 是真命题,② 是假命题 (B)① 是假命题,② 真命题 (C)① 和 ② 都是真命题 (D)① 和 ② 都是假命题 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分,第 1 小题满分8 分,第 2 小题满分 6 分) 已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列. (1)求的通项公式;(2)计算. 18.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图,在四棱锥中,,且. (1)证明:平面平面; (2)若,,且四棱锥的体积为,求与平面所成的线面角的大小. 19.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分) 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”. 现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”. 如图所示,以中点为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧上(不与端点重合),、为步行道,其中与垂直,与垂直. 设. (1)如果点位于弧的中点,求三条步行道的总长度; (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元) 20.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知椭圆:,,.椭圆内部的一点,过点作直线交椭圆于,作直线交椭圆于.、是不同的两点. (1)若椭圆的离心率是,求的值; (2)设的面积是,的面积是,若,时,求的值; (3)若点,满足且,则称点在点的左上方. 求证:当时,点在点的左上方. 21.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知, (1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数 (常数为自然对数的底); (2)根据(1),判断并证明与的大小关系,并请推广至一般的结论(无须证明); (3)已知、是正整数,,,求证:是满足条件