天津市北京师范大学静海附属学校 (天津市静海区北师大实验学校)2023-2024学年高三上学期第二次阶段检测（期中）数学试题

2023-2024学年度高中数学 试卷 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知函数．若，，．则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 5．在中，，，，以边BC所在的直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C．36 D．12 6．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，，，．若分数在区间的频数为5，则大于等于60分的人数为（    ） A．15 B．20 C．35 D．45 7．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为 A．108石 B．169石 C．237石 D．338石 8．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 9．已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根a，b，c，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 10．是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为 . 11．在的展开式中，项的系数为 （用数字作答）． 12．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，，则 . 13．圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为 . 14．已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是 . 15．已知函数的图象过点，则的最小值为 . 三、证明题 16．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的正弦值; （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长． 四、解答题 17．在中，内角所对的边分别为，. （1）求的值； （2）求的值. 18．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 19．已知数列的前项和为，且（），.数列为等比数列，且. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 20．已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求与满足的关系； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，对任意的，总有成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据复数的交集、并集运算的概念可得结果. 【详解】，. 故选：A 2．A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】若，则，即，所以； 若，则，不能推出“”. 所以是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．D 【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判断出结果. 【详解】因为，， 函数与都是增函数，所以也是增函数， 因此， 即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型. 4．D 【分析】先对函数求导，求得；再由题意，得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为，所以，则； 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，解得：. 故选：D. 【点睛】本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型. 5．B 【分析】根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 【详解】因为在中，，所以， 若以边所在的直线为轴，将旋转一周，所得的几何体是以为高，以为底面圆半径的圆锥，因为，， 因此，其体积为：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型. 6．C 【分析】根据分数在区间的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 【详解】因为分数在区间的频数