2024届高三数学二轮复习培优练10：概率与函数、导数

培优练10 概率与函数、导数 一、基本技能练 1.(2023·镇海中学、衡水中学等九校模拟)某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率，求X的分布列及数学期望； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有k(k＝0，1，2，…，30)个男生的概率为P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值. 2.(2023·安徽、云南、吉林、黑龙江四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼做上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目. (1)若N＝5 000，求X的数学期望； (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X＝15)最大的N的值作为N的估计值). 3.(2023·东北育才中学适考三)某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为p(0<p<1). (1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为f(p)，求f(p)； (2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由. 二、创新拓展练 4.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱. (1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 成交额(百亿元) 9 12 17 21 27 求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2019年为x＝1，2020年为x＝2，…依此类推)的经验回归方程，并预测2024年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)； (2)在2024年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X. ①求X的分布列及E(X)； ②已知每个订单由k(k≥2，k∈N*)件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y，假设p＝－，q＝，求E(Y)取最大值时正整数k的值. 附：经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝， ＝－. 参考答案 1.解　(1)X所有可能的取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.8). P(X＝0)＝C×(1－0.8)3＝0.008； P(X＝1)＝C×0.81×(1－0.8)2＝0.096； P(X＝2)＝C×0.82×(1－0.8)1＝0.384； P(X＝3)＝C×0.83＝0.512. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E(X)＝3×0.8＝2.4. (2)设事件A为“被选出的人中恰好有k位男生”， 则30个人中剩下(30－k)个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为CC， 所以P(k)＝ ＝·. 令＝>1， 解得k<. 所以P(12)>P(11)>P(10)>…，P(12)>P(13)>P(14)>…， 故当k＝12时，P(k)最大. 2.解　(1)依题意X服从超几何分布， N＝5 000，M＝200，n＝500， 故E(X)＝500×＝20. (2)当N<685时，P(X＝15)＝0， 当N≥685时，P(X＝15)＝， 记a(N)＝， 则＝ ＝ ＝＝. 由N2－698N＋499×199>N2－683N－684， 得N<≈6 665.7. 当685≤N≤6 665时，a(N＋1)>a(N)； 当N≥6 666时，a(N＋1)<a(N). 故当N＝6 666时，a(N)最大， 所以N的估计值为6 666. 3.解　(1)由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为Cp2(1－p)＋Cp3， 每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为Cp(1－p)2[1－