立体几何（理）解答题过关专项训练-2024届高三数学一轮复习

解答题专项过关训练 3、 立体几何 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 1．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 2．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 3．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （Ⅰ）证明MN∥平面PAB; （Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 4．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 5．如图，四棱锥P-ABCD中，面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，是的中点．（1）证明：直线平面； （2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值． 6．如图，直三棱柱中， ， 是棱的中点， （1）证明： （2）求二面角的大小. 7．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A" A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值． 8．如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （Ⅰ）证明：; （Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值. 9．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC． （1）证明：平面AEC⊥平面AFC； （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 10．如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 11．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形为正方形，，，且二面角与二面角都是. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 12．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 13．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 14．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 15．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小. 16．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 17．如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 18．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值. 19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 20．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 21．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 22．在四棱锥中，面面ABCD，，，，，，，M是棱PA上一点且． (1)求证： 平面PCD； (2)求直线BM与平面PBC所成角的正弦值． 23．在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使． (1)求证：； (2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 24．在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点. (1)设为的中点，求证：平面； (2)若，直线与平面所成角的正切值为，求多面体的体积. 25．．如图，四棱锥的底面ABCD为菱形，，为等边三角形，点Q为棱PB上的