江苏省淮阴中学、姜堰中学2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题

数学学科试题 （考试用时：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的. 1. 若直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A 或0 B. C. 1或0 D. 1 2. 已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（ ） A. 140 B. 180 C. 220 D. 380 3. 若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，矩形的一边在轴上，另两个顶点，在函数（）的图像上.若点的坐标为（，），矩形的周长记为，则（ ） A. 216 B. 108 C. 220 D. 110 6. 已知等比数列的前项和为，数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列的通项公式为（）.则的前2048项的和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知是圆：上一点，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 过点作圆的切线，则切线方程为 D. 过点作圆的切线，则切线方程为 10. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第个图形的边长，记为第个图形的周长.为的前项和，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是1为首顶，为公比的等比数列 B. 数列是3为首项，4为公比的等比数列 C. 若，为中的不同两项，且，则最小值是 D. 若恒成立.，则最小值为 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与直线相交 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C 当时， D. 当直线的倾斜角为60°时，为线段的一个三等分点 12. 设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知，则数列是间隔递增数列 C. 已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2 D. 已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知等比数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式______. 14. 设抛物线的焦点为，准线与轴交于，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，与相交于点，且点是的重心，则点到轴的距离为______. 15. 过双曲线（）右焦点的直线交两渐近线于，两点，，为坐标原点，且内切圆半径为，则双曲线的离心率为______. 16. 在如图所示的三角新形阵中，用（）表示第行第个数（，），已知（），且当时，除第行的第1个数和第个数外，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和.即（）.若，则正整数的最小值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17. 已知数列为等差数列，公差为，；数列为各项均为正数的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前顶和 18. 已知双曲线：（，）的实轴长为，左右焦点为、，直线经过点，且与双曲线交于、两点.当直线与轴垂直时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为，求的面积. 19. 在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答