2024届高三艺术生数学一轮复习-不等式讲义

第四章、不等式 4.1不等关系与不等式 1．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇔ a＞c ； (3)可加性：a＞b⇔a＋c ＞ b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒ ＜ (2)a＜0＜b⇒ ＜ (3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒ ＞ (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒ ＜ ＜ 3．比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔ a＞b； a－b＝0⇔ a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b . 另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b； ＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 4. 比较大小 （1）作差法 其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． （2）作商法 其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． （3）特例法 若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路． 【例1】1、若M=2x2+7x+6，N=(x+1)(x+4)，则M与N的大小关系是　　　　. 【解析】∵M-N=(2x2+7x+6)-(x+1)(x+4)=(2x2+7x+6)-(x2+5x+4) =x2+2x+2= (x+1)2+1>0,∴M>N. 2、已知1<a<2,-2<b<-1,则2a+b的取值范围为　　　　.   【解析】∵1<a<2,∴2<2a<4,又-2<b<-1,∴0<2a+b<3,即2a+b的取值范围为(0,3). 3、下列命题中为真命题的是　　　　.(填写序号)  ①若a>b>0,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b>0且c<0,则; ④若a>b且,则ab<0. 【解析】对于①,当c=0时, ac2>bc2不成立,故①为假命题; 对于②,∵a<b<0,∴两边同乘a,得a2>ab,两边同乘b,得ab>b2,∴a2>ab>b2,故②为真命题; 对于③,∵a>b>0,∴a2>b2>0,∴,∵c<0,∴,故③为真命题; 对于④,∵,∴=>0,又∵a>b,∴b-a<0,∴ab<0,故④为真命题.故填②③④. 【变式探究1】 1、给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是(　　) A．①②　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ 2、已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是(　　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 3、已知a＞b＞0，c＜0，则下列不等式成立的所有序号是________． ①ac＞bc；②ab＞ac；③ab＜bc；④＜；⑤＞. 4、已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则与的大小关系是________． 5、已知a，b，c，d均为实数，且c＞d，则“a＞b”是“ a－c＞b－d ”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6、已知则的取值范围是　　　　　　的取值范围是　　　　　　　　 7、已知则的取值范围是 4.2基本不等式 1．基本不等式：（a＞0，b＞0） （1）一正：基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. （2）二定：①如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时, x+y有最小值,是　(简记:积定和最小).  ②如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时, xy有最大值,是　(简记:和定积最大).  （3）三相等：等号成立的条件，当且仅当a=b时取等号． 2．常用结论： （1）a2+b2≥2ab(a,bR) （2）ab≤()2(a,bR) （3）(a,bR) （一）公式的应用 【例4】1、函数y=x+(x＞0）取得最小值时，x的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【解析】x＞0，x+≥2=1，当且仅当x=时取等号，取到最小值1,此时x=，故选B. 2、已知x>1,则的最小值为　　 . 【解析】因为x>1,所以x-1>0,所以 =+1≥2+1=3,当且仅当x-1=1,即x=2时,等号成立. 3、 当x>2时,的最小值为 .　　 【解析】因为x>2，所以x-2>0，所以，当且仅当,